共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問103 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問8)
問題文
（3）太郎さんは
（cn＋3）（2cn＋1−cn＋3）＝0 （n＝1，2，3，…） ・・・・・①
を満たす数列｛cn｝について調べることにした。
（ⅰ）
・数列｛cn｝が①を満たし、c1＝5のとき、c2＝（ サ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3のとき、c2＝（ シス ）、c1＝（ セソ ）である。
（ⅱ）太郎さんは、数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3となる場合について考えている。
c3＝−3のとき、c4がどのような値でも
（c3＋3）（2c4−c3＋3）＝0
が成り立つ。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3、c4＝5のとき
c1＝（ セソ ）、c2＝（ シス ）、c3＝−3、c4＝5、c5＝（ タ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3、c4＝83のとき
c1＝（ セソ ）、c2＝（ シス ）、c3＝−3、c4＝83、c5＝（ チツ ）である。
（ⅲ）太郎さんは（ⅰ）と（ⅱ）から、cn＝−3となることがあるかどうかに着目し、次の命題Aが成り立つのではないかと考えた。
＜命題A＞
数列｛cn｝が①を満たし、c1≠−3であるとする。このとき、すべての自然数nについてcn≠−3である。
命題Aが真であることを証明するには、命題Aの仮定を満たす数列｛cn｝について、（ テ ）を示せばよい。
実際、このようにして命題Aが真であることを証明できる。
（ テ ）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。
（cn＋3）（2cn＋1−cn＋3）＝0 （n＝1，2，3，…） ・・・・・①
を満たす数列｛cn｝について調べることにした。
（ⅰ）
・数列｛cn｝が①を満たし、c1＝5のとき、c2＝（ サ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3のとき、c2＝（ シス ）、c1＝（ セソ ）である。
（ⅱ）太郎さんは、数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3となる場合について考えている。
c3＝−3のとき、c4がどのような値でも
（c3＋3）（2c4−c3＋3）＝0
が成り立つ。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3、c4＝5のとき
c1＝（ セソ ）、c2＝（ シス ）、c3＝−3、c4＝5、c5＝（ タ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3、c4＝83のとき
c1＝（ セソ ）、c2＝（ シス ）、c3＝−3、c4＝83、c5＝（ チツ ）である。
（ⅲ）太郎さんは（ⅰ）と（ⅱ）から、cn＝−3となることがあるかどうかに着目し、次の命題Aが成り立つのではないかと考えた。
＜命題A＞
数列｛cn｝が①を満たし、c1≠−3であるとする。このとき、すべての自然数nについてcn≠−3である。
命題Aが真であることを証明するには、命題Aの仮定を満たす数列｛cn｝について、（ テ ）を示せばよい。
実際、このようにして命題Aが真であることを証明できる。
（ テ ）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問103（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
（3）太郎さんは
（cn＋3）（2cn＋1−cn＋3）＝0 （n＝1，2，3，…） ・・・・・①
を満たす数列｛cn｝について調べることにした。
（ⅰ）
・数列｛cn｝が①を満たし、c1＝5のとき、c2＝（ サ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3のとき、c2＝（ シス ）、c1＝（ セソ ）である。
（ⅱ）太郎さんは、数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3となる場合について考えている。
c3＝−3のとき、c4がどのような値でも
（c3＋3）（2c4−c3＋3）＝0
が成り立つ。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3、c4＝5のとき
c1＝（ セソ ）、c2＝（ シス ）、c3＝−3、c4＝5、c5＝（ タ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3、c4＝83のとき
c1＝（ セソ ）、c2＝（ シス ）、c3＝−3、c4＝83、c5＝（ チツ ）である。
（ⅲ）太郎さんは（ⅰ）と（ⅱ）から、cn＝−3となることがあるかどうかに着目し、次の命題Aが成り立つのではないかと考えた。
＜命題A＞
数列｛cn｝が①を満たし、c1≠−3であるとする。このとき、すべての自然数nについてcn≠−3である。
命題Aが真であることを証明するには、命題Aの仮定を満たす数列｛cn｝について、（ テ ）を示せばよい。
実際、このようにして命題Aが真であることを証明できる。
（ テ ）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。
（cn＋3）（2cn＋1−cn＋3）＝0 （n＝1，2，3，…） ・・・・・①
を満たす数列｛cn｝について調べることにした。
（ⅰ）
・数列｛cn｝が①を満たし、c1＝5のとき、c2＝（ サ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3のとき、c2＝（ シス ）、c1＝（ セソ ）である。
（ⅱ）太郎さんは、数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3となる場合について考えている。
c3＝−3のとき、c4がどのような値でも
（c3＋3）（2c4−c3＋3）＝0
が成り立つ。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3、c4＝5のとき
c1＝（ セソ ）、c2＝（ シス ）、c3＝−3、c4＝5、c5＝（ タ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3、c4＝83のとき
c1＝（ セソ ）、c2＝（ シス ）、c3＝−3、c4＝83、c5＝（ チツ ）である。
（ⅲ）太郎さんは（ⅰ）と（ⅱ）から、cn＝−3となることがあるかどうかに着目し、次の命題Aが成り立つのではないかと考えた。
＜命題A＞
数列｛cn｝が①を満たし、c1≠−3であるとする。このとき、すべての自然数nについてcn≠−3である。
命題Aが真であることを証明するには、命題Aの仮定を満たす数列｛cn｝について、（ テ ）を示せばよい。
実際、このようにして命題Aが真であることを証明できる。
（ テ ）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。
- c2≠−3かつc3≠−3であること
- c100≠−3かつc200≠−3であること
- c100≠−3ならばc101≠−3であること
- n＝kのときcn≠−3が成り立つと仮定すると、n＝k＋1のときもcn≠−3が成り立つこと
-
n＝kのときcn＝−3が成り立つと仮定すると、n＝k＋1のときもcn＝−3が成り立つこと
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （2件）
01
命題の証明の仕方は複数あり得ますが、
選択肢の内容から判断すると「数学的帰納法」の証明方法を適用すると判断できます。
その場合、「任意の自然数 n について cn ≠ 3」が示すべき内容です。
仮定から n = 1 の場合は命題が成立しているので、
n = k の時に命題が成立していると仮定したときに、
n = k +1 のときにも命題が成立すればよい事になります。
「n＝k のとき cn≠−3 が成り立つと仮定すると、n＝k＋1 のときも cn≠−3 が成り立つこと」の選択肢が設問（テ）の解答となります。
この選択肢は正しくありません。
n= 1, 2, 3 のときに命題が成立する事を確認しても、
それだけでは「任意の自然数 n について命題が成立する事」を証明できません。
具体的な値を代入をする事は結果の予測には役に立つ事がありますが、
そのように予測をしたうえで任意の自然数で命題が成立する事を証明をするには数学的帰納法を使う必要があります。
本選択肢が、数学的帰納法の内容を表す選択肢であり、正しい内容です。
n＝kのときcn＝−3が成り立つと仮定すると、n＝k＋1のときもcn＝−3が成り立つこと
一見、数学的帰納法の形をしていますが命題の結論を否定してしまっています。
この選択肢は正しくありません。注意しましょう。
結果を否定して矛盾を導く背理法も証明方法の1つですが、この選択肢は背理法の内容も表していません。
数学的帰納法による証明方法は、
まず n = 1 のときに命題が正しいことを証明します。
次に、n = k のときに命題が正しいと仮定すると、
n = k + 1 のときにも命題が正しい事を証明します。
それによって、n = 1, 2, 3, 4, … のいずれの場合にも命題が成立する事を証明した事になります。
証明の方法には多くのものがありますが、
本設問では証明方法として正しい内容が記されているのは数学的帰納法の内容を述べている選択肢のみになります。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
cn≠-3のときcn+1≠-3であることを示せば十分です。
任意のnに対して示す必要があります。
任意のnに対して示す必要があります。
任意のnに対して示す必要があります。
n＝kのときcn＝−3が成り立つと仮定すると、n＝k＋1のときもcn＝−3が成り立つこと
cn≠-3を示す必要があります。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問102）へ
令和6年度（2024年度）本試験 問題一覧
次の問題（問104）へ