共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問62 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8)
問題文
（2）底が異なる二つの対数について、それらの和と積の大小関係を考えよう。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ⅱ）x＞0とし
F（x）＝log（1／2）x＋log（1／3）x
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）
とおく。不等式
F（x）＞G（x） ・・・・・②
を満たすxの値の範囲を調べる。
（1）と同様に考えると、log（1／2）xは2を底とする対数を用いて（ コ ）と表せる。また、log（1／3）xも3を底とする対数を用いて表すことができる。
このことから、f（x）とg（x）を（ⅰ）で定めた関数とするとき、F（x）とG（x）をそれぞれf（x）またはg（x）を用いて表すと
F（x）＝（ サ ）、G（x）＝（ シ ）
となる。よって、②を満たすxの値の範囲は
（ ス ）／（ セ ）＜x＜（ ソ ）
であることがわかる。
（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ⅱ）x＞0とし
F（x）＝log（1／2）x＋log（1／3）x
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）
とおく。不等式
F（x）＞G（x） ・・・・・②
を満たすxの値の範囲を調べる。
（1）と同様に考えると、log（1／2）xは2を底とする対数を用いて（ コ ）と表せる。また、log（1／3）xも3を底とする対数を用いて表すことができる。
このことから、f（x）とg（x）を（ⅰ）で定めた関数とするとき、F（x）とG（x）をそれぞれf（x）またはg（x）を用いて表すと
F（x）＝（ サ ）、G（x）＝（ シ ）
となる。よって、②を満たすxの値の範囲は
（ ス ）／（ セ ）＜x＜（ ソ ）
であることがわかる。
（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問62（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
（2）底が異なる二つの対数について、それらの和と積の大小関係を考えよう。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ⅱ）x＞0とし
F（x）＝log（1／2）x＋log（1／3）x
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）
とおく。不等式
F（x）＞G（x） ・・・・・②
を満たすxの値の範囲を調べる。
（1）と同様に考えると、log（1／2）xは2を底とする対数を用いて（ コ ）と表せる。また、log（1／3）xも3を底とする対数を用いて表すことができる。
このことから、f（x）とg（x）を（ⅰ）で定めた関数とするとき、F（x）とG（x）をそれぞれf（x）またはg（x）を用いて表すと
F（x）＝（ サ ）、G（x）＝（ シ ）
となる。よって、②を満たすxの値の範囲は
（ ス ）／（ セ ）＜x＜（ ソ ）
であることがわかる。
（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ⅱ）x＞0とし
F（x）＝log（1／2）x＋log（1／3）x
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）
とおく。不等式
F（x）＞G（x） ・・・・・②
を満たすxの値の範囲を調べる。
（1）と同様に考えると、log（1／2）xは2を底とする対数を用いて（ コ ）と表せる。また、log（1／3）xも3を底とする対数を用いて表すことができる。
このことから、f（x）とg（x）を（ⅰ）で定めた関数とするとき、F（x）とG（x）をそれぞれf（x）またはg（x）を用いて表すと
F（x）＝（ サ ）、G（x）＝（ シ ）
となる。よって、②を満たすxの値の範囲は
（ ス ）／（ セ ）＜x＜（ ソ ）
であることがわかる。
（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- log2x
- −log2x
- （1／2）log2x
- −（1／2log2x）
- 1／log2x
- −log22x
正解！素晴らしいです
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この過去問の解説 （3件）
01
底の変換公式により、
log(1/2)x =(log2x)/(log21/2)
= - log2x
「-log2x」の選択肢が設問（コ）の解答となります。
この選択肢は正しくありません。
正しくは、負の数にして -log2x となります。
log21/2 = -1 である事から、
log(1/2)x =(log2x)/(log21/2)
= -log2x となります。
底の変換公式と、2-1 = 1/2 である事を使います。
後者は重要な計算ですので覚えておきましょう。
底の変換公式も覚えておく事が望ましいですが、
この大問では設問（ア）～（ウ）で導出できるようになっています。
設問（エ）のまとめより
設問（ウ）
設問（イ）
設問（ア）
設問（ア）のまとめより
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この解説の修正を提案する
02
底の変換公式を使います。a、b、cは正の数で、a≠1、b≠1、c≠1とすると下記の式が成り立ちます。
logab=logcb/logca
log（1／2）xの底を2に変換します。
log（1／2）x＝log2x/(log21/2)
＝log2x/(log22-1)
＝log2x/(−1)
＝−log2x
正解の選択肢です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
f（x）
=log2x＋log3x
=log2x＋log2x/log23
=(1+1/log23)log2x
従って
A=1+1/log23
となります。
g（x）
=（log2x）・（log3x）
=（log2x）・(log2x/log23)
=1/log23・（log2x）2
従って
B=1/log23
となります。
AX＞BX2
↔BX2-AX＜0
↔BX(X-A/B)＜0
ここでＡ＞0、B＞0なので
0＜X＜A/B
↔0＜X＜(1+1/log23)/(1/log23)
↔0＜X＜log23+1
となります。
0＜X＜log23+1
↔0＜log2x＜log23+1
↔log21＜log2x＜log2(3・2)
↔1＜x＜6
となります。
log（1／2）x
=log2x/log2(1/2)
=-log2x
となります。
正解です。
前問同様の誘導もあるので、うまく乗っていくことがpointです。
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