共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問61 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7)
問題文
（2）底が異なる二つの対数について、それらの和と積の大小関係を考えよう。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ ク ）、（ ケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ ク ）、（ ケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問61（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
（2）底が異なる二つの対数について、それらの和と積の大小関係を考えよう。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ ク ）、（ ケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ ク ）、（ ケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- ク：1 ケ：4
- ク：2 ケ：5
- ク：1 ケ：6
- ク：2 ケ：7
正解！素晴らしいです
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この過去問の解説 （3件）
01
前問（カ）（キ）より、0< X < 1 + log23
X = log2x を代入すると、
0 < log2x < 1 + log23
1 = log22 である事に注意すると、
1+ log23 = (log22) + log23 = log2(2・3) = log26
また、0 = log21 である事にも注意すると、
log21 < log2x < log26
底 2 が 1 より大きい事にも注意して、
1 < x < 6
ク：1 ケ：6 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
前問（カ）（キ）
設問（オ）
設問（エ）
1 = log22 および 1+ log23 = log2(2・3) = log26 から、
log21 < log2x < log26 を得るので、
1 < x < 6 となります。
上記解説の終わりの部分の「底 2 が 1 より大きい事にも注意」の記述については、
もし底が例えば 1/2 であったら、
log(1/2)x < log(1/2)6 は x > 6 を意味するので、
本設問では解答に影響しませんが、
念のため注意すべき事項であるという意味で記しました。
本設問は、0 < log2x < 1 + log23 を得たあとに,
x の範囲をどのように求めるかという問題です。
20 =1 である事と、
対数に関する公式 logp(ab) = logpa + logpb を使います。
（この公式は、logpa = s, logpb =t とおき、
ps = a, pt = b である事から ab = p(s + t) となり、
logp(ab) = logpp(s + t) = s + t = logpa + logpb により得られます。）
同じような対数の計算に慣れておきましょう。
設問（ア）のまとめより
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
X＝log2xとおいていたので、0＜log2x＜1＋log23となります。
対数の定義より、log22＝1、log21＝0となることを利用します。
0＜log2x＜1＋log23
log21＜log2x＜log22＋log23
対数の性質より、log22＋log23＝log2（2×3）となります。
log21＜log2x＜log26
底が1より大きいとき、対数の大小関係は真数（logaMのMのこと）の大小関係と一致するので
1＜x＜6
となります。
正解の選択肢です。
対数の大小関係を調べるときは底をそろえることがポイントです。
今回の問題では誘導通りに解けば底をそろえることができました。
また、対数の大小関係の比較について底が1より大きいときと、0より大きく1未満のときで扱いが異なるので注意しましょう。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
f（x）
=log2x＋log3x
=log2x＋log2x/log23
=(1+1/log23)log2x
従って
A=1+1/log23
となります。
g（x）
=（log2x）・（log3x）
=（log2x）・(log2x/log23)
=1/log23・（log2x）2
従って
B=1/log23
となります。
AX＞BX2
↔BX2-AX＜0
↔BX(X-A/B)＜0
ここでＡ＞0、B＞0なので
0＜X＜A/B
↔0＜X＜(1+1/log23)/(1/log23)
↔0＜X＜log23+1
となります。
0＜X＜log23+1
↔0＜log2x＜log23+1
↔log21＜log2x＜log2(3・2)
↔1＜x＜6
となります。
正解です。
変換を戻し、同じ底にし比較していくことがpointです。
参考になった数0
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