共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問60 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問6)

AX > BX2 ⇔ BX(X - A/B) < 0
前問（オ）より B = 1/(log₂3) > 0 であり、
設問（エ）より A={1 +1/(log₂3)}> 0 なので、
B > 0 かつ A/B > 0 となります。
よって、BX(X - A/B) < 0 となる X の範囲は、
0< X < A/B となります。
A/B = (log₂3){1 +1/(log₂3)} = (log₂3) + 1 です。

カ：0　キ：1 + log₂3　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（オ）

対数の底の変換公式により、
log₃x = (log₂x)/(log₂3)
よって、
g(x) =  (log₂x)・(log₃x)
=(log₂x)²/(log₂3)
同時に g(x) = B(log₂x)² なので、
B = 1/(log₂3)

設問（エ）

対数の底の変換公式により、
log₃x = (log₂x)/(log₂3)
よって、
f(x) =  log₂x + log₃x
= log₂x + (log₂x)/(log₂3)
=(log₂x){1 +1/(log₂3)}
同時に問題文より f(x) = A・(log₂x) なので、
A={1 +1/(log₂3)}

f（x）＝log₂x＋log₃xを2を底とする対数を用いて表します。

対数の性質より、log₃x＝log₂x/log₂3と表すことができます。

f（x）＝log₂x＋log₃x

　　＝log₂x＋log₂x/log₂3

　　＝(1＋(1/log₂3))log₂x

 

上記よりA＝1＋(1/log₂3)となります。

 

g（x）＝（log₂x）・（log₃x）を2を底とする対数を用いて表します。

対数の性質より、log₃x＝log₂x/log₂3と表すことができます。

g（x）＝（log₂x）・（log₃x）

　　 ＝（log₂x）・（log₂x/log₂3）

　　 ＝(1/log₂3)・（log₂x）²

 

上記より、B＝1/log₂3となります。

X＝log₂xとおき、Xについての不等式AX＞BX²を満たすXの値の範囲を調べます。

AX＞BX²

BX²＜AX

BX²－AX＜0

X²－（A/B）X＜0

X（XーA/B）＜0

ここでA＞0、B＞0なのでA/B＞0となります。

よって、0＜X＜A/Bとなります。

また、

A/B＝（1＋(1/log₂3)）/（1/log₂3）

　   ＝（1＋(1/log₂3)）・（log₂3）

　   ＝1＋log₂3

となるので、不等式AX＞BX²を満たすXの値の範囲は0＜X＜1＋log₂3となります。

f（x）

=log₂x＋log₃x

=log₂x＋log₂x/log₂3

=(1+1/log₂3)log₂x

従って

A=1+1/log₂3

となります。

g（x）

=（log₂x）・（log₃x）

=（log₂x）・(log₂x/log₂3)

=1/log₂3・（log₂x）²

従って

B=1/log₂3

となります。

AX＞BX²

↔BX²-AX＜0

↔BX(X-A/B)＜0

ここでＡ＞0、B＞0なので

0＜X＜A/B

↔0＜X＜(1+1/log₂3)/(1/log₂3)

↔0＜X＜log₂3+1

となります。