共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問59 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問5)

底の変換公式が重要となる点は前問（エ）と同じです。

前問（エ）のまとめより

対数の底を p から q に変換する公式は log_pa = (log_qa)/(log_qp) です。

この公式を本設問では使用します。
できれば覚えておきたい公式ですが、
この大問では設問（ア）～（ウ）から導出する事もできます。

設問（ウ）

前問（イ）より、log2x = t・(log23) であり、
問題文より t = log3x であるので、
log3x = (log2x)/(log23) です。

設問（イ）

底の変換公式の途中経過を考えます。
前問（ア）より、x = 3^t です。これを2^u の形に直すには、
「2 を何乗すると 3 になるか」の値が必要となります。
すなわち log₂3 の値が必要となります。

x = 3^t = {2^(log₂3)}^t= 2^{t・(log₂3)} と表せます。
この関係式は、
log₂x = t・(log₂3) と表せます。

設問（ア）

t = log₃x の意味は「3をt乗するとxになる」という事なので、
3^t = x となります。

「x = 3^t」の選択肢が設問（ア）の解答となります。

設問（ア）のまとめより

t = log₃x の 3 を「底（てい）」、x を「真数」(> 0)、
t を「(3を底とする x の) 対数」とそれぞれ呼びます。
上記解説のように、底を何乗すると真数になるかが対数の値となります。
例えば「3を3乗するとxになる」のであれば log₃x = 3 であり、x = 27 です。
慣れないうちは具体的な値で考えて対数の式に慣れましょう。

対数の定義など復習しておくことが大切です。