共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問64 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問10)
問題文
（2）底が異なる二つの対数について、それらの和と積の大小関係を考えよう。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ⅱ）x＞0とし
F（x）＝log（1／2）x＋log（1／3）x
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）
とおく。不等式
F（x）＞G（x） ・・・・・②
を満たすxの値の範囲を調べる。
（1）と同様に考えると、log（1／2）xは2を底とする対数を用いて（ コ ）と表せる。また、log（1／3）xも3を底とする対数を用いて表すことができる。
このことから、f（x）とg（x）を（ⅰ）で定めた関数とするとき、F（x）とG（x）をそれぞれf（x）またはg（x）を用いて表すと
F（x）＝（ サ ）、G（x）＝（ シ ）
となる。よって、②を満たすxの値の範囲は
（ ス ）／（ セ ）＜x＜（ ソ ）
であることがわかる。
（ シ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ⅱ）x＞0とし
F（x）＝log（1／2）x＋log（1／3）x
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）
とおく。不等式
F（x）＞G（x） ・・・・・②
を満たすxの値の範囲を調べる。
（1）と同様に考えると、log（1／2）xは2を底とする対数を用いて（ コ ）と表せる。また、log（1／3）xも3を底とする対数を用いて表すことができる。
このことから、f（x）とg（x）を（ⅰ）で定めた関数とするとき、F（x）とG（x）をそれぞれf（x）またはg（x）を用いて表すと
F（x）＝（ サ ）、G（x）＝（ シ ）
となる。よって、②を満たすxの値の範囲は
（ ス ）／（ セ ）＜x＜（ ソ ）
であることがわかる。
（ シ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問64（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
（2）底が異なる二つの対数について、それらの和と積の大小関係を考えよう。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ⅱ）x＞0とし
F（x）＝log（1／2）x＋log（1／3）x
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）
とおく。不等式
F（x）＞G（x） ・・・・・②
を満たすxの値の範囲を調べる。
（1）と同様に考えると、log（1／2）xは2を底とする対数を用いて（ コ ）と表せる。また、log（1／3）xも3を底とする対数を用いて表すことができる。
このことから、f（x）とg（x）を（ⅰ）で定めた関数とするとき、F（x）とG（x）をそれぞれf（x）またはg（x）を用いて表すと
F（x）＝（ サ ）、G（x）＝（ シ ）
となる。よって、②を満たすxの値の範囲は
（ ス ）／（ セ ）＜x＜（ ソ ）
であることがわかる。
（ シ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（ⅰ）x＞0とし
f（x）＝log2x＋log3x
g（x）＝（log2x）・（log3x）
とおく。不等式
f（x）＞g（x） ・・・・・①
を満たすxの値の範囲を調べる。
f（x）とg（x）を、それぞれ2を底とする対数を用いて表すと
f（x）＝Alog2x，g（x）＝B（log2x）2
となる。ここで
A＝（ エ ）、B＝（ オ ）
である。
X＝log2xとおくと、Xのとり得る値の範囲は実数全体である。
Xについての不等式AX＞BX2を満たすXの値の範囲は
（ カ ）＜X＜（ キ ）
である。
よって、①を満たすxの値の範囲は
（ ク ）＜x＜（ ケ ）
である。
（ⅱ）x＞0とし
F（x）＝log（1／2）x＋log（1／3）x
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）
とおく。不等式
F（x）＞G（x） ・・・・・②
を満たすxの値の範囲を調べる。
（1）と同様に考えると、log（1／2）xは2を底とする対数を用いて（ コ ）と表せる。また、log（1／3）xも3を底とする対数を用いて表すことができる。
このことから、f（x）とg（x）を（ⅰ）で定めた関数とするとき、F（x）とG（x）をそれぞれf（x）またはg（x）を用いて表すと
F（x）＝（ サ ）、G（x）＝（ シ ）
となる。よって、②を満たすxの値の範囲は
（ ス ）／（ セ ）＜x＜（ ソ ）
であることがわかる。
（ シ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- f（x）
- −f（x）
- f（x）／2
- f（x）／3
- f（x）／6
- g（x）
- −g（x）
- g（x）／2
- g（x）／3
- g（x）／6
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この過去問の解説 （3件）
01
前問（サ）での底の変換により、
G(x) = (log(1/2)x)・(log(1/3)x)
=-(log2x)・{- (log3x)} = (log2x)・ (log3x)
= g(x)
「g(x)」の選択肢が設問（シ）の解答となります。
前問（サ）
変形の仕方は色々あり得ますが、前問（サ）と同様に、
選択肢を見ると G(x) を f(x) や g(x) で表すものとなっています。
そこで、log(1/3)x の変換は - log3x の時点で止めて、
問題文より (log2x) ・ (log3x) = g(x) なので、
G(x) = g(x) という関係式を出しています。
本設問では前問の途中経過での関係式がそのまま使えますが、
底の変換公式と、2-1 = 1/2, 3-1 = 1/3 の関係式が使われています。
設問（エ）のまとめより
設問（ウ）
設問（イ）
設問（ア）
設問（ア）のまとめより
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この解説の修正を提案する
02
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）を変形します。
G（x）＝（−log2x）・（−log3x）
＝（log2x）・（log3x）
g（x）＝（log2x）・（log3x）なのでG（x）＝g（x）となります。
正解の選択肢です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
f（x）
=log2x＋log3x
=log2x＋log2x/log23
=(1+1/log23)log2x
従って
A=1+1/log23
となります。
g（x）
=（log2x）・（log3x）
=（log2x）・(log2x/log23)
=1/log23・（log2x）2
従って
B=1/log23
となります。
AX＞BX2
↔BX2-AX＜0
↔BX(X-A/B)＜0
ここでＡ＞0、B＞0なので
0＜X＜A/B
↔0＜X＜(1+1/log23)/(1/log23)
↔0＜X＜log23+1
となります。
0＜X＜log23+1
↔0＜log2x＜log23+1
↔log21＜log2x＜log2(3・2)
↔1＜x＜6
となります。
log（1／2）x
=log2x/log2(1/2)
=-log2x
となります。
同様にlog（1／3）x=-log3x となるので
F（x）＝log（1／2）x＋log（1／3）x
=-log2x-log3x
=-f(x)
となります。
G（x）＝（log（1／2）x）・（log（1／3）x）
=(-log2x)・(-log3x)
=g(x)
となります。
正解です。
うまくg(x)で表せられるように置き換えていくことがpointです。
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