共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問65 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問11)

設問（エ）～（シ）の結果や考察から必要なものを利用します。
F(x) < G(x) は -f(x) < g(x) に変形でき、
さらに - AX > BX² ⇔ BX(X + A/B) < 0 に変形できます。
B > 0 かつ A/B > 0 より、 -A/B < X < 0
この式は -log₂6 < log₂x < log₂1 に変形でき、
さらに log₂1/6 < log₂x < log₂1 に変形できるので、
底 2 が 1 より大きい事に注意して、
1/6 < x < 1 となります。

ス：1　セ：6　ソ：1　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

設問（エ）（f（x） = Alog₂x に対する A の値を求めました。X = log₂x です。）

対数の底の変換公式により、
log₃x = (log₂x)/(log₂3)
よって、
f(x) =  log₂x + log₃x
= log₂x + (log₂x)/(log₂3)
=(log₂x){1 +1/(log₂3)}
同時に問題文より f(x) = A・(log₂x) なので、
A={1 +1/(log₂3)}

設問（オ）（g（x） = B（log₂x）² に対するB の値を求めました。）

対数の底の変換公式により、
log₃x = (log₂x)/(log₂3)
よって、
g(x) =  (log₂x)・(log₃x)
=(log₂x)²/(log₂3)
同時に g(x) = B(log₂x)² なので、
B = 1/(log₂3)

設問（カ）（A/B の値を求めました。不等式 BX(X - A/B) < 0 については、本設問では BX(X + A/B) < 0 となっています。）

AX > BX2 ⇔ BX(X - A/B) < 0
前問（オ）より B = 1/(log₂3) > 0 であり、
設問（エ）より A={1 +1/(log₂3)}> 0 なので、
B > 0 かつ A/B > 0 となります。
よって、BX(X - A/B) < 0 となる X の範囲は、
0< X < A/B となります。
A/B = (log₂3){1 +1/(log₂3)} = (log₂3) + 1 です。

（さらに、A/B =(log₂3) + (log₂2) = log₂6 となります。）

設問（コ）（F(x) = - f(x) を求めるのに必要です。）

底の変換公式により、
log_(1/2)x =(log₂x)/(log₂1/2)
= - log₂x

設問（サ）（F(x) = - f(x) を求めています。）

底の変換公式により、
log_(1/2)x =(log₂x)/(log₂1/2) = - log₂x
log_(1/3)x =(log₃x)/(log₃1/3) = - log₃x
F(x) = (log_(1/2)x) + (log_(1/3)x) =  - log₂x - log₃x
= -{(log₂x)+ (log₃x)} = -f(x)

前問(シ)（G(x) = g(x) を求めていています。）

前問（サ）での底の変換により、
G(x) = (log(1/2)x)・(log(1/3)x)
=-(log2x)・{- (log3x)} = (log2x)・ (log3x)
= g(x)

底の変換公式を使います。a、b、cは正の数で、a≠1、b≠1、c≠1とすると下記の式が成り立ちます。

log_ab=log_cb/log_ca

log_（1／2）xの底を2に変換します。

log_（1／2）x＝log₂x/(log₂1/2)

　　　　  ＝log₂x/(log₂2^-1)

　　　　  ＝log₂x/(−1)

　　　　  ＝−log₂x

 

log_（1／3）xの底を3に変換します。

log_（1／3）x＝log₃x/(log₃1/3)

　　　　  ＝log₃x/(log₃3^-1)

　　　　  ＝log₃x/(−1)

　　　　  ＝−log₃x

 

F（x）＝log_（1／2）x＋log_（1／3）xを変形します。

F（x）＝−log₂x−log₃x

　　 ＝−（log₂x＋log₃x）

f（x）＝log₂x＋log₃xなのでF（x）＝−f（x）となります。

 

G（x）＝（log_（1／2）x）・（log_（1／3）x）を変形します。

G（x）＝（−log₂x）・（−log₃x）

　　 ＝（log₂x）・（log₃x）

g（x）＝（log₂x）・（log₃x）なのでG（x）＝g（x）となります。

よって、F（x）＞G（x）は−f（x）＞g（x）となります。

f（x）＝log₂x＋log₃xを2を底とする対数を用いて表します。

対数の性質より、log₃x＝log₂x/log₂3と表すことができます。

f（x）＝log₂x＋log₃x

　　＝log₂x＋log₂x/log₂3

　　＝(1＋(1/log₂3))log₂x

 

上記よりA＝1＋(1/log₂3)となります。

 

g（x）＝（log₂x）・（log₃x）を2を底とする対数を用いて表します。

対数の性質より、log₃x＝log₂x/log₂3と表すことができます。

g（x）＝（log₂x）・（log₃x）

　　 ＝（log₂x）・（log₂x/log₂3）

　　 ＝(1/log₂3)・（log₂x）²

 

上記より、B＝1/log₂3となります。

X＝log₂xとおき、Xについての不等式 −AX＞BX²を満たすXの値の範囲を調べます。

AX＞BX²

BX²＜AX

BX²＋AX＜0

X²＋（A/B）X＜0

X（X＋A/B）＜0

ここでA＞0、B＞0なのでA/B＞0となります。

よって、 −A/B＜X＜となります。

また、

A/B＝（1＋(1/log₂3)）/（1/log₂3）

　   ＝（1＋(1/log₂3)）・（log₂3）

　   ＝1＋log₂3

となるので、不等式AX＞BX²を満たすXの値の範囲は −(1＋log₂3)＜X＜0となります。

X＝log₂xとおいていたので、 −(1＋log₂3)＜log₂x＜0となります。

対数の定義より、log₂2＝1、log₂1＝0となることを利用します。

−(1＋log₂3)＜log₂x＜0

−(log₂2＋log₂3)＜log₂x＜log₂1

対数の性質より、−(log₂2＋log₂3)＝log₂（2×3）^-1＝log₂（1/6）となります。

log₂（1/6）＜log₂x＜log₂1

底が1より大きいとき、対数の大小関係は真数（log_aMのMのこと）の大小関係と一致するので

1/6＜x＜1

となります。

f（x）

=log₂x＋log₃x

=log₂x＋log₂x/log₂3

=(1+1/log₂3)log₂x

従って

A=1+1/log₂3

となります。

g（x）

=（log₂x）・（log₃x）

=（log₂x）・(log₂x/log₂3)

=1/log₂3・（log₂x）²

従って

B=1/log₂3

となります。

AX＞BX²

↔BX²-AX＜0

↔BX(X-A/B)＜0

ここでＡ＞0、B＞0なので

0＜X＜A/B

↔0＜X＜(1+1/log₂3)/(1/log₂3)

↔0＜X＜log₂3+1

となります。

0＜X＜log₂3+1

↔0＜log₂x＜log₂3+1

↔log₂1＜log₂x＜log₂₍3・2)

↔1＜x＜6

となります。

log_（1／2）x

=log₂x/log₂(1/2)

=-log₂x

となります。

同様にlog_（1／3）x=-log₃x となるので

F（x）＝log_（1／2）x＋log_（1／3）x

=-log₂x-log₃x

=-f(x)

となります。

G（x）＝（log_（1／2）x）・（log_（1／3）x）

=(-log₂x)・(-log₃x)

=g(x)

となります。

F（x）＞G（x）

↔-f(x)＞g(x)

前問同様に解いていくと

BX(X+A/B)＜0

↔-A/B＜X＜0

↔-(log₂3+1)＜log₂x＜0

↔-(log₂₍3・2))＜log₂x＜log₂1

↔log₂(1/6)＜log₂x＜log₂1

↔1/6＜x＜1

となります。