共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問71 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問17)

(tan 90° -2x) = tan 89° = 57.29 のもとで、
前問（ナニヌ）の考察からそのときに x = 0.5°
したがって、 90° - 0.5° = 89.5° となり、これは求めたい正接の角度です。

問題文の②式と設問（テ）（ト）の結果から、
0 < (tan 90° -2x)/(tan90° - x) < 1/2 であり、
(tan 90° -2x)/(tan90° - x) < 1/2 の式のみを使い、
57.29 < (tan 89.5°)/2 
よって、
tan 89.5° > ２・(57.29) =114.58

「110以上」の選択肢が設問（ネ）の解答となります。

前問（ナニヌ）（本設問で重要な部分は太字にしています。）

π/2 = 90°なので、

90° - 2x = 89° より、
x = 0.5°
これを弧度法で表すと、x = 2π・(0.5/360) = π/360

設問（テ）（ト）

前問（ツ）より、
tan(π/2 - 2x)/{tan(π/2 - x)} =  (1- tan²x)/2
よって、0 < x < π/4 のとき、
(1 - tan²(π/4))/2 < (1- tan²x)/2 < (1- tan²0)/2
tan(π/4) = 1, tan 0 = 0 なので、
0 < (1- tan²x)/2 < 1/2

設問（ツ）

問題文にしたがって計算すると、
本設問の左辺の分子は 1/(tan 2x) となり、
本設問の左辺の分母は (tan x) となります。
前問（チ）から1/(tan 2x)) = (1- tan²x)/(2tan x) となるので、
求める結果は、(tan x)・(1- tan²x)/(2tan x) = (1- tan²x)/2

設問（チ）（正接関数の2倍角の公式 tan(2x) = 2(tan x)/(1- tan²x) ）

問題文にしたがって、前問（タ）の結果も使い、
2(sin x)・(cosx)/{(cos²x) - (sin²x)} の分子と分母を cos²x で割ると、
2{(sinx)/(cosx)}/{1 -(sin²x)/(cos²x)} = 2(tan x)/(1- tan²x)

 

 「2tanx/(1- tan²x)」の選択肢が設問（チ）の解答となります。

設問（タ）

三角関数の加法定理により、
sin(x + y) = (sin x)・(cos y) + (sin y)・(cos x)
よって sin(2x) = 2(sin x)・(cosx)

2倍角の公式を利用します。

sin2x＝2sinxcosx

cos2x＝cos²x−sin²x

tan2x＝sin2x/cos2x=2sinxcosx/(cos²x−sin²x)

 

分母と分子をそれぞれcos²xで割ります。

2sinxcosx/cos²x＝2sinx/cosx

　　　　　　　　＝2tanx

（cos²x−sin²x）/cos²x＝1−（sin²x/cos²x）

　　　　　　　　　   ＝1−tan²x

上記より

tan2x＝2tanx/（1−tan²x）

となります。

 

問題文より、tan（π/2−x）＝1/tanx、tan（π/2−2x）＝1/tan2xとなります。

（tan（π/2−2x））/（tan（π/2−x））＝（1/tan2x）/（1/tanx）

　　　　　　　　　　　　　　＝tanx/tan2x

　　　　　　　　　　　　　　＝tanx/（2tanx/（1−tan²x））

　　　　　　　　　　　　　　＝（tanx（1−tan²x））/2tanx

　　　　　　　　　　　　　　＝（1−tan²x）/2

 

0＜x＜π/4のとき、0＜tanx＜1となり、0＜tanx²＜1となります。

よって、0＜（1−tan²x）/2＜1/2となります。

上記より、0＜（tan(π/2−2x)）/（tan(π/2−x)）＜1/2となります。

 

π/2を度数法で表すと90°となります。

90°−2x＝89°となるｘを求めます。

−2x＝−1°

x＝0.5°

ここで1°＝π/180なので0.5°＝π/360となります。

x＝π/360のとき、tan（π/2−2x）＝tan89°、tan（π/2−x）＝tan89.5°となります。

②より0＜（tan(π/2−2x)）/（tan(π/2−x)）＜1/2なので、0＜tan89°/tan89.5°＜1/2が成り立ちます。

tan89°＝57.29としているので、0＜57.29/tan89.5°＜1/2となります。

各辺にtan89.5°をかけて、整理します。

0＜57.29＜（tan89.5°）/2

57.29＜（tan89.5°）/2

114.58＜tan89.5°

となります。

選択肢のうち当てはまるものは110以上となります。

2倍角の公式より