共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問110 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問10)

（※ベクトルOPを→OPと記します。）
前問（コ）～（セ）より→OR は →c と →d で表されますが、 
本設問では R と直線ODの距離を考えるので、 
→ORのうち、→c の係数だけを考えればよい事になります。
（→OCは、直線ODに対して垂直です。すなわちその方向のベクトルの成分の大きさは、「R と直線ODの距離」を直接表します。逆に →d の方向のベクトルの成分の大きさは「R と直線ODの距離」に寄与しません。）
 

前問（コ）～（セ）の結果を踏まえて →c の係数を最小にする事を考えます。
掛けられている1/(k + 1) を除いて考えると次式により計算できます。
(k + 1)t² - 2t  + 1 = (k + 1){t - 1/(k + 1)}² + 1 - 1/(k + 1)
つまり、t = 1/(k+1) のときに「R と直線ODの距離」は最小になります。

「1/(k+1)」の選択肢が設問（ソ）の解答となります。
 

前問（コ）～（セ）

設問（ウ）（エ）より →OR = (1 - t)²→a + t²→b であり、
本設問の式は t を含んだままの式になっている事に注意します。
前問（ケ）より、→a = (→c  - →d)/(1 + k)
設問（ク）より、→b = (k→c + →d)/(1 + k)
1/(1 +k) を除いて考え、
最初に →c の係数について整理すると、
(1 - 2t + t²) + t²k = (k + 1)t² - 2t  + 1
次に →d の係数について整理すると、
-(1 - 2t + t²) + t² = 2t - 1
まとめると、
→OR ={1/(k + 1)}{(k + 1)t² - 2t  + 1}→c +{1/(k + 1)}(2t - 1)→d

設問（ケ）

前問（ク）の結果より、→a = (→c  - →d)/(1 +k)
問題文より、→c = →a + →b
これにより、
→c = (→c  - →d)/(1 +k) + →b
⇔ →b = (→c + k→c - →c  + →d)/(1 +k) 
よって、
→b = (k→c + →d)/(1 +k)

設問（ク）

設問（カ）から、→d =- k→a + →b
問題文より、→c = →a + →b
後者の式の両辺から前者の式の両辺を引くと、
(1 + k)→a = →c  - →d
問題文よりk > 0 なので 1 + k ≠ 0 に注意して、
→a = (→c  - →d)/(k + 1)

設問（カ）

ベクトルは大きさと向きを保ったまま平行移動しても同じベクトルとみなされるので、
→BC = →OA
（問題文より→OC = →OA + →OB のため、 四角形OABC は平行四辺形です。）
OA : BD = 1 : k なので、BC : BD = 1 : k
よって、→DB = k→OA
他方で、→DB = →OB - →OD
したがって、
→OB - →OD = k→OA ⇔ →OD = →OB - k→OA

すなわち、→OD = -k→a + →b

設問（ウ）（エ）

→PQ = →OQ - → OP 
前問（イ）より、→OQ = t→b
設問（ア）より、→OP = (1 - t)→a

 

PQを t : (1 - t) に内分する点がRなので、
→PR = {t/(t + 1 -t)}→PQ
= t→PQ
= t²→b - t(1 - t)→a

 

よって、

→OR = →OP + →PR 
= (1 - t)→a + t²→b - t(1 - t)→a
= (1 -2t + t²)→a + t²→b
= (1 - t)²→a + t²→b

前問（イ）

OBを t : (1 - t) に内分する点がQなので、
→OQ = {t/(t + 1- t)}→OB
= t→b

設問（ア）

OAを (1 - t) : t に内分する点がPなので、
→OP = {(1 - t)/(1- t + t)}→OA
= (1 - t)→a

解説では、ベクトルaをaと書きます。

解答：1/（k+1）

解説：

ORはcとdの合成で表されます。

Rとlの距離が最小になるのは、cの係数が最小の時です。

よって、（コ）～（セ）より、

s=（1-t）²+kt²

とすると、

s=（k+1）[t-{1/（k+1）}]²-{1/（k+1）}-2t+1

k>0より、k+1>0であり、sはtに関する下に凸の2次関数なので、

t=1/（k+1）のとき最小になります。

PはOAを(1-t)：tに内分する点だから