共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問109 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問9)

（※ベクトルOPを→OPと記します。）

設問（ウ）（エ）より →OR = (1 - t)²→a + t²→b であり、
本設問の式は t を含んだままの式になっている事に注意します。
前問（ケ）より、→a = (→c  - →d)/(1 + k)
設問（ク）より、→b = (k→c + →d)/(1 + k)
1/(1 +k) を除いて考え、
最初に →c の係数について整理すると、
(1 - 2t + t²) + t²k = (k + 1)t² - 2t  + 1
次に →d の係数について整理すると、
-(1 - 2t + t²) + t² = 2t - 1
まとめると、
→OR ={1/(k + 1)}{(k + 1)t² - 2t  + 1}→c +{1/(k + 1)}(2t - 1)→d

空欄の形に合わせて答えると、
コ：k + 1　サ：2　シ：1　ス：2　セ：1　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（ケ）

前問（ク）の結果より、→a = (→c  - →d)/(1 +k)
問題文より、→c = →a + →b
これにより、
→c = (→c  - →d)/(1 +k) + →b
⇔ →b = (→c + k→c - →c  + →d)/(1 +k) 
よって、
→b = (k→c + →d)/(1 +k)

設問（ク）

設問（カ）から、→d =- k→a + →b
問題文より、→c = →a + →b
後者の式の両辺から前者の式の両辺を引くと、
(1 + k)→a = →c  - →d
問題文よりk > 0 なので 1 + k ≠ 0 に注意して、
→a = (→c  - →d)/(k + 1)

設問（カ）

ベクトルは大きさと向きを保ったまま平行移動しても同じベクトルとみなされるので、
→BC = →OA
（問題文より→OC = →OA + →OB のため、 四角形OABC は平行四辺形です。）
OA : BD = 1 : k なので、BC : BD = 1 : k
よって、→DB = k→OA
他方で、→DB = →OB - →OD
したがって、
→OB - →OD = k→OA ⇔ →OD = →OB - k→OA

すなわち、→OD = -k→a + →b

設問（ウ）（エ）

→PQ = →OQ - → OP 
前問（イ）より、→OQ = t→b
設問（ア）より、→OP = (1 - t)→a

 

PQを t : (1 - t) に内分する点がRなので、
→PR = {t/(t + 1 -t)}→PQ
= t→PQ
= t²→b - t(1 - t)→a

 

よって、

→OR = →OP + →PR 
= (1 - t)→a + t²→b - t(1 - t)→a
= (1 -2t + t²)→a + t²→b
= (1 - t)²→a + t²→b

前問（イ）

OBを t : (1 - t) に内分する点がQなので、
→OQ = {t/(t + 1- t)}→OB
= t→b

設問（ア）

OAを (1 - t) : t に内分する点がPなので、
→OP = {(1 - t)/(1- t + t)}→OA
= (1 - t)→a

解説では、ベクトルaをaと書きます。

解答：{1/(k+1)}{（k+1）t²-2t+1}c+{1/(k+1)}（2t-1）d

解説：

（ウ）、（エ）の解答より、

OR=（1-t）²a+t²b

（ク）、（ケ）の解答を代入すると、

OR=（1-t）²{1/（k+1）}（c-d）+t²{1/（k+1）}（kc+d）

={1/(k+1)}[{（1-t）²+kt²}c+{t²-（1-t）²}d]

={1/(k+1)}{（k+1）t²-2t+1}c+{1/(k+1)}（2t-1）d

PはOAを(1-t)：tに内分する点だから