共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問108 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問8)

（※ベクトルOPを→OPと記します。）

前問（ク）の結果より、→a = (→c  - →d)/(1 +k)
問題文より、→c = →a + →b
これにより、
→c = (→c  - →d)/(1 +k) + →b
⇔ →b = (→c + k→c - →c  + →d)/(1 +k) 
よって、
→b = (k→c + →d)/(1 +k)

本設問ではこの結果の式の分子だけを答えるので、
「k→c + →d」 の選択肢が設問（ケ）の解答となります。

前問（ク）

設問（カ）から、→d =- k→a + →b
問題文より、→c = →a + →b
後者の式の両辺から前者の式の両辺を引くと、
(1 + k)→a = →c  - →d
問題文よりk > 0 なので 1 + k ≠ 0 に注意して、
→a = (→c  - →d)/(k + 1)

設問（カ）

ベクトルは大きさと向きを保ったまま平行移動しても同じベクトルとみなされるので、
→BC = →OA
（問題文より→OC = →OA + →OB のため、 四角形OABC は平行四辺形です。）
OA : BD = 1 : k なので、BC : BD = 1 : k
よって、→DB = k→OA
他方で、→DB = →OB - →OD
したがって、
→OB - →OD = k→OA ⇔ →OD = →OB - k→OA

すなわち、→OD = -k→a + →b

解説では、ベクトルaをaと書きます。

解答：kc+d

解説：

問題文と（カ）の解答より、

c=a+b

d=-ka+b

上2式を連立すると、

kc+d=（k+1）b

b={1/（k+1）}（kc+d）

PはOAを(1-t)：tに内分する点だから