共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問18 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問4)
問題文
〔1〕花子さんと太郎さんは、公園にある二つの小さな噴水と一つの大きな噴水の高さについて話している。
花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう。
太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水がえがく曲線は、放物線になると聞いたことがあるよ。
花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。噴水の水がえがく曲線は三つとも放物線とする。三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある。図1のように座標軸が定められた平面上に、三つの噴水を正面から見た図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定1を、中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定2を設定する。図1のP1，P2，P3は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2
中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2は、x軸上の点P2｛（3／2），0｝から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
（1）仮定1と仮定2のもとで考える。
C1をグラフにもつ2次関数を
y＝ax2＋bx＋cとする。
このときc＝（ ア ）であり、また
y＝−（［ イ ］／［ ウ ］）x2−（［ エ ］／［ オ ］）x＋（ ア ）
である。
C1の頂点のy座標は（ カ ）／（ キ ）である。
このことを用いると、C2の頂点のy座標は（ クケ ）／（ コサ ）であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの（ シ ）である。
（ クケ ）、（ コサ ）にあてはまるものを1つ選べ。
花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう。
太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水がえがく曲線は、放物線になると聞いたことがあるよ。
花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。噴水の水がえがく曲線は三つとも放物線とする。三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある。図1のように座標軸が定められた平面上に、三つの噴水を正面から見た図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定1を、中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定2を設定する。図1のP1，P2，P3は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2
中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2は、x軸上の点P2｛（3／2），0｝から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
（1）仮定1と仮定2のもとで考える。
C1をグラフにもつ2次関数を
y＝ax2＋bx＋cとする。
このときc＝（ ア ）であり、また
y＝−（［ イ ］／［ ウ ］）x2−（［ エ ］／［ オ ］）x＋（ ア ）
である。
C1の頂点のy座標は（ カ ）／（ キ ）である。
このことを用いると、C2の頂点のy座標は（ クケ ）／（ コサ ）であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの（ シ ）である。
（ クケ ）、（ コサ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問18（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら） （新しいタブで開く）
〔1〕花子さんと太郎さんは、公園にある二つの小さな噴水と一つの大きな噴水の高さについて話している。
花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう。
太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水がえがく曲線は、放物線になると聞いたことがあるよ。
花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。噴水の水がえがく曲線は三つとも放物線とする。三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある。図1のように座標軸が定められた平面上に、三つの噴水を正面から見た図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定1を、中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定2を設定する。図1のP1，P2，P3は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2
中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2は、x軸上の点P2｛（3／2），0｝から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
（1）仮定1と仮定2のもとで考える。
C1をグラフにもつ2次関数を
y＝ax2＋bx＋cとする。
このときc＝（ ア ）であり、また
y＝−（［ イ ］／［ ウ ］）x2−（［ エ ］／［ オ ］）x＋（ ア ）
である。
C1の頂点のy座標は（ カ ）／（ キ ）である。
このことを用いると、C2の頂点のy座標は（ クケ ）／（ コサ ）であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの（ シ ）である。
（ クケ ）、（ コサ ）にあてはまるものを1つ選べ。
花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう。
太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水がえがく曲線は、放物線になると聞いたことがあるよ。
花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。噴水の水がえがく曲線は三つとも放物線とする。三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある。図1のように座標軸が定められた平面上に、三つの噴水を正面から見た図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定1を、中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定2を設定する。図1のP1，P2，P3は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2
中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2は、x軸上の点P2｛（3／2），0｝から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
（1）仮定1と仮定2のもとで考える。
C1をグラフにもつ2次関数を
y＝ax2＋bx＋cとする。
このときc＝（ ア ）であり、また
y＝−（［ イ ］／［ ウ ］）x2−（［ エ ］／［ オ ］）x＋（ ア ）
である。
C1の頂点のy座標は（ カ ）／（ キ ）である。
このことを用いると、C2の頂点のy座標は（ クケ ）／（ コサ ）であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの（ シ ）である。
（ クケ ）、（ コサ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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- クケ：61 コサ：25
- クケ：63 コサ：26
- クケ：71 コサ：26
- クケ：81 コサ：25
- クケ：82 コサ：15
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この過去問の解説 （4件）
01
問題よりC1をグラフにもつ2次関数をy＝ax2＋bx＋cと置いております。
このグラフは点（0，1）を通るので代入をします。
するとc=1となります。
よってC1はy＝ax2＋bx＋1と置くことができます。
このグラフが問題より
点P1｛−（5／2），0｝、点｛（1／2），0｝を通るので代入すると
25a/4-5b/2+1=0
a/4+b/2+1=0
の2つの式ができます。
これらの連立方程式を計算すると
a=-4/5,b=-8/5になります。
よってC1はy=−(4/5)x2−(8/5)x+1です。
またこの式を平方完成をしていきます。
y=−(4/5)x2−(8/5)x+1
=-4/5(x2+2x)+1
=-4/5｛(x+1)2-1｝+1
=-4/5(x+1)2+4/5+1
=-4/5(x+1)2+9/5
同様にC3の式を求めていくと
y=-4/5(x-1)2+9/5
となります。
これらよりC2は3点
(−1,9/5)
(1,9/5)
(3/2,0)を通ることが分かります。
C2をy＝dx2＋ex＋fと置き、上記の３点を代入すると
9/5=d+e+f
9/5=d-e+f
0=9d/4+3e/2+f
が与えられます。
これらを解くと
d=-9/4
e=0
f=81/25
よってC2はy＝-9/4x2＋81/25となり
頂点は(0,81/25)になります。
この選択肢が正解です。
問題の条件からもっとグラフの形を絞って解くこともできます。
ただシンプルな問題の解き方で解けることを大切にしつつ、気づければ工夫をしていきましょう。
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02
図からC1とC3はy軸に関して対称であるとわかります。
また、C2はC1とC2それぞれの頂点を通ります。
よって、C2もy軸に関して対称です。
この前提のもと、問題を解いてみましょう。
C2を
y＝ax2+bx+c ...①
とします。
C2は（-3/2, 0）, （3/2, 0）を通りますから、ax2+bx+c＝0はx=-3/2, 3/2を解にもちます。
よって①式は、αを実数として
y＝α（x+3/2）（x-3/2）...②
と表せます。
C2はC3の頂点（1, 9/5）を通りますから、これを②式に代入して
9/5＝α（1+3/2）（1-3/2）
α＝-（36/25）
これを②式に代入して
y＝-（36/25）x2+81/25
したがって、答えは （クケ）＝81, （コサ）＝25 です。
最後に、下に凸になっているか確認しましょう。
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03
また、右側の小さな噴水C3はC1と左右対称なので、頂点は
x座標：1
y座標：9／5
です。
したがって、中央の大きな噴水C2は
(−1,9／5)
(1,9／5)
(3／2,0)
を通ります。
正解です。
点 (−1,9／5) と (1,9／5) は、y軸について対称です。
そのため、C2の軸は x＝0 になり、式は
y=ax2+c
とおけます。
C2は (1,9／5) を通るので、
a+c=9／5 ……①
C2は (3／2,0) を通るので、
(9／4)a+c=0 ……②
②−①より、
(9／4−1)a=−9／5
(5／4)a=−9／5
a=−36／25
これを①に代入すると、
−36／25+c=9／5
−36／25+c=45／25
c=81／25
C2は y=ax2+c の形なので、頂点は (0,c) です。
したがって、C2の頂点のy座標は
81／25
です。
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04
この問題のポイントは、C2のグラフの軸がy軸であることと、それを踏まえて未知数を正しく設定することにあります。
①C2のグラフの軸の確認
まず、仮定1や図1の条件から、C1とC3のグラフはy軸に対して対称であることがわかります。
そして、仮定2より、C2はC1の頂点とC3の頂点を通ります。また、この2点はy軸に対して対称。
すなわち、この2点を通るC2もy軸に対して対称になり、C2の軸はy軸となります。
②未知数の設定
①から、C2の二次関数を考えます。
ここで注意したいのは、式にxは使わず、y=ax2+bと設定するところです。
これはC2の軸がy軸であるため、グラフはy=ax2のグラフをy軸方向にのみ平行移動したものだからです。
③連立方程式を解く
②で設定した二次関数(C2:y=ax2+b)は、仮定2から{（3/2）,0}、前の問題から{ー1,(9/5)}[C1の頂点]を通ることが分かっているので、
(9/4)a+b=0, a+b=9/5 という2つの式が立式できます。
これらを解くと、a=ー(36/25), b=81/25 となるため、
クケ：81 コサ：25 となります。
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