共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問21 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問7)
問題文
〔1〕花子さんと太郎さんは、公園にある二つの小さな噴水と一つの大きな噴水の高さについて話している。
花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう。
太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水がえがく曲線は、放物線になると聞いたことがあるよ。
花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。噴水の水がえがく曲線は三つとも放物線とする。三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある。図1のように座標軸が定められた平面上に、三つの噴水を正面から見た図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定1を、中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定2を設定する。図1のP1，P2，P3は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2
中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2は、x軸上の点P2｛（3／2），0｝から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
（1）仮定1と仮定2のもとで考える。
C1をグラフにもつ2次関数を
y＝ax2＋bx＋cとする。
このときc＝（ ア ）であり、また
y＝−（［ イ ］／［ ウ ］）x2−（［ エ ］／［ オ ］）x＋（ ア ）
である。
C1の頂点のy座標は（ カ ）／（ キ ）である。
このことを用いると、C2の頂点のy座標は（ クケ ）／（ コサ ）であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの（ シ ）である。
（2）花子さんと太郎さんは、大きな噴水の高さについて話している。
花子：正面から見たとき、大きな噴水が小さな噴水の頂点を通って見えるというデザインは変えずに、大きな噴水の高さを変えることはできるのかな。
太郎：左右の二つの小さな噴水は変えずに、大きな噴水の水が出る位置を変えてみたらどうかな。
花子：大きな噴水の高さが5メートルになるときの水が出る位置を考えてみよう。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2′
●中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2′は、x軸の正の部分の点P2′から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
●C2′の頂点のy座標は5である。
仮定1と仮定2′のもとで考える。
このとき、P2′はP2より（ ス ）／（ セ ）だけ（ ソ ）の方にある。
（ ソ ）にあてはまるものを1つ選べ。
花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう。
太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水がえがく曲線は、放物線になると聞いたことがあるよ。
花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。噴水の水がえがく曲線は三つとも放物線とする。三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある。図1のように座標軸が定められた平面上に、三つの噴水を正面から見た図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定1を、中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定2を設定する。図1のP1，P2，P3は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2
中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2は、x軸上の点P2｛（3／2），0｝から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
（1）仮定1と仮定2のもとで考える。
C1をグラフにもつ2次関数を
y＝ax2＋bx＋cとする。
このときc＝（ ア ）であり、また
y＝−（［ イ ］／［ ウ ］）x2−（［ エ ］／［ オ ］）x＋（ ア ）
である。
C1の頂点のy座標は（ カ ）／（ キ ）である。
このことを用いると、C2の頂点のy座標は（ クケ ）／（ コサ ）であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの（ シ ）である。
（2）花子さんと太郎さんは、大きな噴水の高さについて話している。
花子：正面から見たとき、大きな噴水が小さな噴水の頂点を通って見えるというデザインは変えずに、大きな噴水の高さを変えることはできるのかな。
太郎：左右の二つの小さな噴水は変えずに、大きな噴水の水が出る位置を変えてみたらどうかな。
花子：大きな噴水の高さが5メートルになるときの水が出る位置を考えてみよう。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2′
●中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2′は、x軸の正の部分の点P2′から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
●C2′の頂点のy座標は5である。
仮定1と仮定2′のもとで考える。
このとき、P2′はP2より（ ス ）／（ セ ）だけ（ ソ ）の方にある。
（ ソ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
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〔1〕花子さんと太郎さんは、公園にある二つの小さな噴水と一つの大きな噴水の高さについて話している。
花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう。
太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水がえがく曲線は、放物線になると聞いたことがあるよ。
花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。噴水の水がえがく曲線は三つとも放物線とする。三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある。図1のように座標軸が定められた平面上に、三つの噴水を正面から見た図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定1を、中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定2を設定する。図1のP1，P2，P3は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2
中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2は、x軸上の点P2｛（3／2），0｝から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
（1）仮定1と仮定2のもとで考える。
C1をグラフにもつ2次関数を
y＝ax2＋bx＋cとする。
このときc＝（ ア ）であり、また
y＝−（［ イ ］／［ ウ ］）x2−（［ エ ］／［ オ ］）x＋（ ア ）
である。
C1の頂点のy座標は（ カ ）／（ キ ）である。
このことを用いると、C2の頂点のy座標は（ クケ ）／（ コサ ）であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの（ シ ）である。
（2）花子さんと太郎さんは、大きな噴水の高さについて話している。
花子：正面から見たとき、大きな噴水が小さな噴水の頂点を通って見えるというデザインは変えずに、大きな噴水の高さを変えることはできるのかな。
太郎：左右の二つの小さな噴水は変えずに、大きな噴水の水が出る位置を変えてみたらどうかな。
花子：大きな噴水の高さが5メートルになるときの水が出る位置を考えてみよう。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2′
●中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2′は、x軸の正の部分の点P2′から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
●C2′の頂点のy座標は5である。
仮定1と仮定2′のもとで考える。
このとき、P2′はP2より（ ス ）／（ セ ）だけ（ ソ ）の方にある。
（ ソ ）にあてはまるものを1つ選べ。
花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう。
太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水がえがく曲線は、放物線になると聞いたことがあるよ。
花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。噴水の水がえがく曲線は三つとも放物線とする。三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある。図1のように座標軸が定められた平面上に、三つの噴水を正面から見た図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定1を、中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定2を設定する。図1のP1，P2，P3は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2
中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2は、x軸上の点P2｛（3／2），0｝から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
（1）仮定1と仮定2のもとで考える。
C1をグラフにもつ2次関数を
y＝ax2＋bx＋cとする。
このときc＝（ ア ）であり、また
y＝−（［ イ ］／［ ウ ］）x2−（［ エ ］／［ オ ］）x＋（ ア ）
である。
C1の頂点のy座標は（ カ ）／（ キ ）である。
このことを用いると、C2の頂点のy座標は（ クケ ）／（ コサ ）であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの（ シ ）である。
（2）花子さんと太郎さんは、大きな噴水の高さについて話している。
花子：正面から見たとき、大きな噴水が小さな噴水の頂点を通って見えるというデザインは変えずに、大きな噴水の高さを変えることはできるのかな。
太郎：左右の二つの小さな噴水は変えずに、大きな噴水の水が出る位置を変えてみたらどうかな。
花子：大きな噴水の高さが5メートルになるときの水が出る位置を考えてみよう。
仮定1
●左側の小さな噴水の水がえがく放物線C1は、x軸上の点P1｛−（5／2），0｝から出て点｛（1／2），0｝に至る。
●右側の小さな噴水の水がえがく放物線C3は、x軸上の点P3｛（5／2），0｝から出て点｛−（1／2），0｝に至る。
●C1とC3はともに点（0，1）を通る。
仮定2′
●中央の大きな噴水の水がえがく放物線C2′は、x軸の正の部分の点P2′から出てC3の頂点とC1の頂点を通る。
●C2′の頂点のy座標は5である。
仮定1と仮定2′のもとで考える。
このとき、P2′はP2より（ ス ）／（ セ ）だけ（ ソ ）の方にある。
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この過去問の解説 （3件）
01
問題よりC1をグラフにもつ2次関数をy＝ax2＋bx＋cと置いております。
このグラフは点（0，1）を通るので代入をします。
するとc=1となります。
よってC1はy＝ax2＋bx＋1と置くことができます。
このグラフが問題より
点P1｛−（5／2），0｝、点｛（1／2），0｝を通るので代入すると
25a/4-5b/2+1=0
a/4+b/2+1=0
の2つの式ができます。
これらの連立方程式を計算すると
a=-4/5,b=-8/5になります。
よってC1はy=−(4/5)x2−(8/5)x+1です。
またこの式を平方完成をしていきます。
y=−(4/5)x2−(8/5)x+1
=-4/5(x2+2x)+1
=-4/5｛(x+1)2-1｝+1
=-4/5(x+1)2+4/5+1
=-4/5(x+1)2+9/5
同様にC3の式を求めていくと
y=-4/5(x-1)2+9/5
となります。
これらよりC2は3点
(−1,9/5)
(1,9/5)
(3/2,0)を通ることが分かります。
C2をy＝dx2＋ex＋fと置き、上記の３点を代入すると
9/5=d+e+f
9/5=d-e+f
0=9d/4+3e/2+f
が与えられます。
これらを解くと
d=-9/4
e=0
f=81/25
よってC2はy＝-9/4x2＋81/25となり
頂点は(0,81/25)になります。
仮定2'の条件より
C2'の頂点は(0,5)となるので
y＝gx2＋5と置け、2点
(−1,9/5),(1,9/5)を通ります。
(1,9/5)を代入して計算をすると
g=-16/5となりC2'は
y＝-16/5x2＋5となります。
ここで
-16/5x2＋5=0を解いて
x=±5/4
これより
P2′は(5/4,0)になります。
P2は(5/2,0)なので
P2′はP2より1/4だけ左にあります。
つまりP1側になります。
この選択肢が正解です。
条件の読み違いに注意していきましょう。
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02
以下は（ス）（セ）の解答です。必要に応じて参考にしてください。
P2のx座標 3/2＝6/4
P'2 のx座標 5/4
ですから、 P'2<P2 ですよね。
したがって、答えは （ソ）＝P1 です。
うっかりミスに注意しましょう。
参考になった数0
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03
前問までで、次のことが分かっていました。
正解です。
P2 と P2′ の x座標を比べます。
P2′ の x座標：5／4
P2 の x座標：3／2=6／4
したがって、
5／4 は 6／4 より小さい
ので、P2′ は P2 より左にあります。
図では、左側は P1 の方、右側は P3 の方です。
よって、P2′ は P2 より P1 の方にあります。
参考になった数0
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