大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問37 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問8)

6点A，B，C，D，E，Fを頂点とし、三角形ABCとDEF，および四角形ABED，ACFD，BCFEを面とする五面体がある。ただし、直線ADとBEは平行でないとする。

以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。

（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり

AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9

であるとする。

また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。

（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（　ウ　）である。したがって

（　ウ　）PA＝PB＋（　エオ　）

（　ウ　）PB＝PA＋（　カ　）

が成り立つ。よって

PA＝（　キ　）、PB＝（　ク　）

となる。

（ⅱ）平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より

PC＝（　ケ　）

となる。

EF＝（　コサ　）、DF＝（　シス　）

となる。

（ⅲ）∠ADE，∠ADF，∠EDFの大きさに着目すると、次の命題（a）、（b）、（c）の真偽の組合せとして正しいものは（　セ　）であることがわかる。

（a）平面ABEDと平面DEFは垂直である。
（b）直線DEは平面ACFDに垂直である。
（c）直線ACと直線DEは垂直である。

（　セ　）にあてはまるものを1つ選べ。