共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問37 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問8)
問題文
6点A，B，C，D，E，Fを頂点とし、三角形ABCとDEF，および四角形ABED，ACFD，BCFEを面とする五面体がある。ただし、直線ADとBEは平行でないとする。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ⅱ）平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
PC＝（ ケ ）
となる。
EF＝（ コサ ）、DF＝（ シス ）
となる。
（ⅲ）∠ADE，∠ADF，∠EDFの大きさに着目すると、次の命題（a）、（b）、（c）の真偽の組合せとして正しいものは（ セ ）であることがわかる。
（a）平面ABEDと平面DEFは垂直である。
（b）直線DEは平面ACFDに垂直である。
（c）直線ACと直線DEは垂直である。
（ セ ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ⅱ）平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
PC＝（ ケ ）
となる。
EF＝（ コサ ）、DF＝（ シス ）
となる。
（ⅲ）∠ADE，∠ADF，∠EDFの大きさに着目すると、次の命題（a）、（b）、（c）の真偽の組合せとして正しいものは（ セ ）であることがわかる。
（a）平面ABEDと平面DEFは垂直である。
（b）直線DEは平面ACFDに垂直である。
（c）直線ACと直線DEは垂直である。
（ セ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問37（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
6点A，B，C，D，E，Fを頂点とし、三角形ABCとDEF，および四角形ABED，ACFD，BCFEを面とする五面体がある。ただし、直線ADとBEは平行でないとする。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ⅱ）平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
PC＝（ ケ ）
となる。
EF＝（ コサ ）、DF＝（ シス ）
となる。
（ⅲ）∠ADE，∠ADF，∠EDFの大きさに着目すると、次の命題（a）、（b）、（c）の真偽の組合せとして正しいものは（ セ ）であることがわかる。
（a）平面ABEDと平面DEFは垂直である。
（b）直線DEは平面ACFDに垂直である。
（c）直線ACと直線DEは垂直である。
（ セ ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ⅱ）平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
PC＝（ ケ ）
となる。
EF＝（ コサ ）、DF＝（ シス ）
となる。
（ⅲ）∠ADE，∠ADF，∠EDFの大きさに着目すると、次の命題（a）、（b）、（c）の真偽の組合せとして正しいものは（ セ ）であることがわかる。
（a）平面ABEDと平面DEFは垂直である。
（b）直線DEは平面ACFDに垂直である。
（c）直線ACと直線DEは垂直である。
（ セ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- （a）真 （b）真 （c）真
- （a）真 （b）真 （c）偽
- （a）真 （b）偽 （c）真
- （a）真 （b）偽 （c）偽
- （a）偽 （b）真 （c）真
- （a）偽 （b）真 （c）偽
- （a）偽 （b）偽 （c）真
- （a）偽 （b）偽 （c）偽
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （2件）
01
前問までで、次のことが分かっています。
PA＝5、PB＝4、PC＝3
DF＝12、EF＝15
AD＝7、DE＝9、BE＝11、CF＝17
また、Pは直線ADとBEの交点なので、
PD＝PA＋AD＝5＋7＝12
PE＝PB＋BE＝4＋11＝15
です。
ここから3つの三角形を見ます。
まず、三角形PDEでは
PD＝12、DE＝9、PE＝15なので、
9²＋12²＝15²
が成り立ちます。
したがって、∠PDE＝90°です。
A、D、Pは一直線上にあるので、∠ADE＝∠PDE＝90°です。
次に、三角形DEFでは
DE＝9、DF＝12、EF＝15なので、
9²＋12²＝15²
が成り立ちます。
したがって、∠EDF＝90°です。
さらに、三角形PDFでは
PD＝12、DF＝12、PF＝PC＋CF＝3＋17＝20なので、
12²＋12²＝20²は成り立ちません。
つまり、∠PDFは90°ではありません。
A、D、Pは一直線上にあるので、∠ADF＝∠PDFです。
したがって、∠ADFは90°ではありません。
この3つを使って、（a）（b）（c）を判断します。
正解です。
（a）偽
平面ABEDと平面DEFの交わりはDEです。
それぞれの平面でDEに垂直な直線はADとDFですが、
∠ADFは90°ではありません。
したがって、平面ABEDと平面DEFは垂直ではありません。
（b）真
DEはADにもDFにも垂直です。
ADとDFは平面ACFD内で交わる2本の直線なので、
DEは平面ACFDに垂直です。
（c）真
ACは平面ACFDにある直線です。
そしてDEはその平面に垂直です。
したがって、ACとDEは垂直です。
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02
これまで与えられたり，求めてきた長さを使って，
△PDFにおいて，PD=12，PE=15，DE=9で
PE²=PD²+DE² つまり，∠PDE=90°になります。
よって，∠ADE=90°・・・①
△PDFにおいて，PD=12，PF=20，DF=12で
PF²≠PD²+DF² つまり，∠PDF≠90°になります。
よって，∠ADF≠90°・・・②
△DEFにおいて，DE=9，DF=12，EF=15で
EF²=DE²+DF² つまり，∠EDF=90°になります。・・・③
(a)について，
平面ABEDと平面DEFのなす角は
∠ADFになるので ②より 偽になります。
(b)について，①，③より 真になります
(c)について、
(b)が真なので，平面ACFDに含まれる
直線ACと直線DFは，垂直になります。
よって，(c)は真です。
この選択肢が正解です。
これまで辺の長さを出したことから、位置関係につなげていきましょう。
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