共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問36 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問7)
問題文
6点A，B，C，D，E，Fを頂点とし、三角形ABCとDEF，および四角形ABED，ACFD，BCFEを面とする五面体がある。ただし、直線ADとBEは平行でないとする。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ⅱ）平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
PC＝（ ケ ）
となる。
EF＝（ コサ ）、DF＝（ シス ）
となる。
（ コサ ）、（ シス ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ⅱ）平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
PC＝（ ケ ）
となる。
EF＝（ コサ ）、DF＝（ シス ）
となる。
（ コサ ）、（ シス ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問36（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら） （新しいタブで開く）
6点A，B，C，D，E，Fを頂点とし、三角形ABCとDEF，および四角形ABED，ACFD，BCFEを面とする五面体がある。ただし、直線ADとBEは平行でないとする。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ⅱ）平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
PC＝（ ケ ）
となる。
EF＝（ コサ ）、DF＝（ シス ）
となる。
（ コサ ）、（ シス ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ⅱ）平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
PC＝（ ケ ）
となる。
EF＝（ コサ ）、DF＝（ シス ）
となる。
（ コサ ）、（ シス ）にあてはまるものを1つ選べ。
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- コサ：12 シス：11
- コサ：14 シス：21
- コサ：15 シス：12
- コサ：17 シス：18
- コサ：19 シス：20
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この過去問の解説 （3件）
01
まずはEFの大きさを求めましょう。
円に内接する四角形の性質に「向かい合う角の和は180°」というものがあります。
よって、図で同じ記号を付した角は同じ大きさです。
3つの角の大きさが等しいため、 △PBC∽△PFE ですね。
BC：FE＝PC：PE
3：FE＝3：15
FE＝15
同様にして △PAC∽△PFD です。
AC：FD＝PC：PD
3：FD＝：3：12
FD＝12
したがって、答えは（コサ）＝15, （シス）＝12 です。
円に内接する四角形の性質をしっかり覚えておきましょう。
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02
平面BCFEと球面Sを図に整理すると以下のようになります。
この図に方べきの定理を用いると
PB×PE=PC×PF
4×15=PC×(PC+17)
整理すると
PC²+17PC-60=0
(PC+20)(PC-3)=0
PC>0より
PC=3
△PBC∽△PFEより
PB:PF=BC:EF
4:20=3:EF
4EF=60
EF=15
よって、5になります。
また、図のように
△PAC∽△PFDより
PA:PF=AC:DF
5:20=3:DF
5DF=60
DF=12
よって，12になります。
この選択肢が正解です。
相似になる図形の状況を作図して整理しておきましょう。
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03
まず、平面BCFEと球面Sの交わる部分は円で、4点B，C，F，Eはその円周上にあります。
また、Pは直線BEと直線CFの交点です。
このとき、三角形PBCとPFEは相似です。
対応する辺は
PB ↔ PF
PC ↔ PE
BC ↔ FE
です。
前問までで
PB＝4
PF＝20
BC＝3
なので、相似比は
PB：PF＝4：20＝1：5
です。
したがって
BC：FE＝1：5
となり、
3：FE＝1：5
より
FE＝15
です。
次に、平面ACFDと球面Sの交わる部分も円で、4点A，C，F，Dはその円周上にあります。
また、Pは直線ADと直線CFの交点です。
このとき、三角形PACとPFDは相似です。
対応する辺は
PA ↔ PF
PC ↔ PD
AC ↔ FD
です。
前問までで
PA＝5
PF＝20
AC＝3
なので、相似比は
PA：PF＝5：20＝1：4
です。
したがって
AC：FD＝1：4
となり、
3：FD＝1：4
より
FD＝12
です。
よって、EF＝15、DF＝12となります。
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