共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問36 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問7)

平面BCFEと球面Sを図に整理すると以下のようになります。

この図に方べきの定理を用いると

PB×PE=PC×PF
4×15=PC×(PC+17)
整理すると
PC²+17PC-60=0
(PC+20)(PC-3)=0
PC>0より
PC=3

△PBC∽△PFEより

PB:PF=BC:EF
　4:20=3:EF
　 4EF=60
      EF=15
よって、5になります。

また、図のように
△PAC∽△PFDより
PA:PF=AC:DF
5:20=3:DF
5DF=60
DF=12
よって，12になります。

まず、平面BCFEと球面Sの交わる部分は円で、4点B，C，F，Eはその円周上にあります。
また、Pは直線BEと直線CFの交点です。

このとき、三角形PBCとPFEは相似です。
対応する辺は

PB ↔ PF

PC ↔ PE

BC ↔ FE

です。

前問までで

PB＝4

PF＝20

BC＝3

なので、相似比は

PB：PF＝4：20＝1：5

です。
したがって

BC：FE＝1：5

となり、

3：FE＝1：5

より

FE＝15

です。

次に、平面ACFDと球面Sの交わる部分も円で、4点A，C，F，Dはその円周上にあります。
また、Pは直線ADと直線CFの交点です。

このとき、三角形PACとPFDは相似です。
対応する辺は

PA ↔ PF

PC ↔ PD

AC ↔ FD

です。

前問までで

PA＝5

PF＝20

AC＝3

なので、相似比は

PA：PF＝5：20＝1：4

です。
したがって

AC：FD＝1：4

となり、

3：FD＝1：4

より

FD＝12

です。