共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問68 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問5)
問題文
以下（ クケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問68（数学Ⅱ・数学B（第3問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ クケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
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この過去問の解説 （1件）
01
前問までで、次のことが分かっていました。
F(x)=2x3+3x2
その導関数は
f(x)=6x2+6x
G(x) も導関数が同じなので、
G(x)=2x3+3x2+C
また、F(x) と G(x) は 定数Cだけが違う関数なので、極大値や極小値をとる x の値は同じです。
そのため、
x=−1 で極大値
x=0 で極小値
となります。
問題文では、G(x) は x=k で極大値0をとるとあるので、
この極大値は x=−1 のときです。
G(x) は x=−1 で極大値 0 をとるので、
G(−1)=0
です。
G(x)=2x3+3x2+C に x=−1 を代入すると、
G(−1)=2(−1)3+3(−1)2+C
=−2+3+C
=1+C
これが 0 なので、
1+C=0
したがって、C=−1です。
よって、（クケ）は −1 です。
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