共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問75 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問12)
問題文
画像内の空欄（ チ ）（ ツ ）にあてはまるものを1つ選べ。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
（2）次に、k＞0の場合を考える。
このとき、F（x）とG（x）に関する条件から、y＝F（x）のグラフとF（x）、G（x）の極値について調べよう。
（ⅰ）F（x）がx＝0で極小値をとることから、f（0）＝（ コ ）であり、x＝0の前後でf（x）の符号は（ サ ）。
さらに、G（x）がx＝kで極大値をとることから、f（k）＝（ シ ）であり、x＝kの前後でf（x）の符号は（ ス ）。
がって、F（x）の導関数はf（x）であることに注意すると、座標平面においてy＝F（x）のグラフの概形は（ セ ）であることがわかる。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
（2）次に、k＞0の場合を考える。
このとき、F（x）とG（x）に関する条件から、y＝F（x）のグラフとF（x）、G（x）の極値について調べよう。
（ⅰ）F（x）がx＝0で極小値をとることから、f（0）＝（ コ ）であり、x＝0の前後でf（x）の符号は（ サ ）。
さらに、G（x）がx＝kで極大値をとることから、f（k）＝（ シ ）であり、x＝kの前後でf（x）の符号は（ ス ）。
がって、F（x）の導関数はf（x）であることに注意すると、座標平面においてy＝F（x）のグラフの概形は（ セ ）であることがわかる。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問75（数学Ⅱ・数学B（第3問） 問12） （訂正依頼・報告はこちら）
画像内の空欄（ チ ）（ ツ ）にあてはまるものを1つ選べ。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
（2）次に、k＞0の場合を考える。
このとき、F（x）とG（x）に関する条件から、y＝F（x）のグラフとF（x）、G（x）の極値について調べよう。
（ⅰ）F（x）がx＝0で極小値をとることから、f（0）＝（ コ ）であり、x＝0の前後でf（x）の符号は（ サ ）。
さらに、G（x）がx＝kで極大値をとることから、f（k）＝（ シ ）であり、x＝kの前後でf（x）の符号は（ ス ）。
がって、F（x）の導関数はf（x）であることに注意すると、座標平面においてy＝F（x）のグラフの概形は（ セ ）であることがわかる。
kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。
（1）まず、F（x）＝2x3＋3x2の場合を考える。
F（x）の導関数がf（x）であることから
f（x）＝（ ア ）x2＋（ イ ）x
であり、F（x）はx＝（ ウエ ）で極大値をとる。
また、G（x）の導関数がf（x）であることから
G（x）＝（ オ ）x3＋（ カ ）x2＋C（Cは積分定数）
と表され、G（x）はx＝（ キ ）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（ クケ ）である。
（2）次に、k＞0の場合を考える。
このとき、F（x）とG（x）に関する条件から、y＝F（x）のグラフとF（x）、G（x）の極値について調べよう。
（ⅰ）F（x）がx＝0で極小値をとることから、f（0）＝（ コ ）であり、x＝0の前後でf（x）の符号は（ サ ）。
さらに、G（x）がx＝kで極大値をとることから、f（k）＝（ シ ）であり、x＝kの前後でf（x）の符号は（ ス ）。
がって、F（x）の導関数はf（x）であることに注意すると、座標平面においてy＝F（x）のグラフの概形は（ セ ）であることがわかる。
- チ：1 ツ：x
- チ：k ツ：0
- チ：k ツ：1
- チ：x ツ：0
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この過去問の解説 （1件）
01
この問題は、前問までの結果をそのまま使うと分かります。
前問までで、
F(x)=∫[0→x]f(t)dt
F'(x)=f(x)
が成り立つと分かっていました。
また、条件より
・F(x)はx=0で極小
・G(x)はx=kで極大
・k>0
です。
このことから、f(x)はx=0とx=kで0になり、
0<x<kでは正、x<0とx>kでは負になります。
したがって、F'(x)=f(x)より、F(x)は
・x<0 で減少
・0<x<k で増加
・x>k で減少
します。
つまり、F(x)はx=kで極大値をとります。
そのため、F(x)の極大値は
F(k)=∫[0→k]f(t)dt
です。
正解です。
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