共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問78 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問15)

この問題は、前問までの結果をそのまま使うと分かります。

前問までで、次のことが分かっていました。

・F(x)はx=0で極小値0をとる

・F(x)はx=kで極大値をとる

・F'(x)=G'(x)=f(x) なので、F(x)とG(x)の差は一定です

つまり、G(x)=F(x)+定数と書けます。

F'(x)=f(x)であり、さらにF(x)はx=0で極小値0をとります。

ここから、

F(x)-F(0)=∫[0→x]f(t)dt

が成り立ちます。
しかも F(0)=0 なので、

F(x)=∫[0→x]f(t)dt

となります。

 

また、条件より

・F(x)はx=0で極小

・G(x)はx=kで極大

・k>0

です。

このことから、f(x)はx=0とx=kで0になり、

0<x<kでは正、x<0とx>kでは負になります。

したがって、F'(x)=f(x)より、F(x)は

・x<0 で減少

・0<x<k で増加

・x>k で減少

します。
つまり、F(x)はx=kで極大値をとります。

さらに、問題文よりG(x)はx=kで極大値0をとります。
F(x)もx=kで極大値をとるので、その値をMとすると、

G(x)=F(x)-M

と考えられます。
すると、

・Gの極大値は M-M=0

・Gの極小値は 0-M=-M

です。

したがって、F(x)の極大値Mは、G(x)の極小値の−1倍になります。
よって、（ナ）に入るのは「極小値の−1倍」です。