大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問78 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問15)

画像内の空欄（　ナ　）にあてはまるものを1つ選べ。

kを0でない実数とし、f（x）を2次関数とする。F（x）とG（x）はどちらも導関数がf（x）であるような関数で、F（x）はx＝0で極小値0をとり、G（x）はx＝kで極大値0をとるとする。

（1）まず、F（x）＝2x³＋3x²の場合を考える。

F（x）の導関数がf（x）であることから

f（x）＝（　ア　）x²＋（　イ　）x

であり、F（x）はx＝（　ウエ　）で極大値をとる。

また、G（x）の導関数がf（x）であることから

G（x）＝（　オ　）x³＋（　カ　）x²＋C（Cは積分定数）

と表され、G（x）はx＝（　キ　）で極小値をとる。さらにG（x）に関する条件からC＝（　クケ　）である。

（2）次に、k＞0の場合を考える。

このとき、F（x）とG（x）に関する条件から、y＝F（x）のグラフとF（x）、G（x）の極値について調べよう。

（ⅰ）F（x）がx＝0で極小値をとることから、f（0）＝（　コ　）であり、x＝0の前後でf（x）の符号は（　サ　）。

さらに、G（x）がx＝kで極大値をとることから、f（k）＝（　シ　）であり、x＝kの前後でf（x）の符号は（　ス　）。

がって、F（x）の導関数はf（x）であることに注意すると、座標平面においてy＝F（x）のグラフの概形は（　セ　）であることがわかる。