共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問79 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問1)
問題文
座標平面上で、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。いくつかの直線や曲線で囲まれた図形の内部にある格子点の個数を考えよう。ただし、図形の内部は、境界（境界線）を含まないものとする。
例えば、直線y＝−x＋5とx軸、y軸で囲まれた図形をSとする。Sは図1の灰色部分であり、Sの内部にある格子点を黒丸、内部にない格子点を白丸で表している。したがって、Sの内部にある格子点の個数は6である。
（1）直線y＝3xとx軸、直線x＝21で囲まれた図形をTとする。Tの内部にある格子点の個数を考える。
直線x＝1上の格子点でTの内部にあるものは、点（1，1）と点（1，2）の2個である。点（1，0）と点（1，3）はTの境界にあるため、内部にはない。
nを整数とする。直線x＝nがTの内部にある格子点を通るのは、1≦n≦20のときである。1≦n≦20のとき、直線x＝n上の格子点でTの内部にあるものの個数をanとおく。a1＝2であり、a2＝（ ア ）、a3＝（ イ ）である。数列｛an｝は（ ウ ）が（ エ ）の（ オ ）数列である。
したがって、Tの内部にある格子点の個数は（ カキク ）である。
（ ア ）、（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
例えば、直線y＝−x＋5とx軸、y軸で囲まれた図形をSとする。Sは図1の灰色部分であり、Sの内部にある格子点を黒丸、内部にない格子点を白丸で表している。したがって、Sの内部にある格子点の個数は6である。
（1）直線y＝3xとx軸、直線x＝21で囲まれた図形をTとする。Tの内部にある格子点の個数を考える。
直線x＝1上の格子点でTの内部にあるものは、点（1，1）と点（1，2）の2個である。点（1，0）と点（1，3）はTの境界にあるため、内部にはない。
nを整数とする。直線x＝nがTの内部にある格子点を通るのは、1≦n≦20のときである。1≦n≦20のとき、直線x＝n上の格子点でTの内部にあるものの個数をanとおく。a1＝2であり、a2＝（ ア ）、a3＝（ イ ）である。数列｛an｝は（ ウ ）が（ エ ）の（ オ ）数列である。
したがって、Tの内部にある格子点の個数は（ カキク ）である。
（ ア ）、（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問79（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問1） （訂正依頼・報告はこちら）
座標平面上で、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。いくつかの直線や曲線で囲まれた図形の内部にある格子点の個数を考えよう。ただし、図形の内部は、境界（境界線）を含まないものとする。
例えば、直線y＝−x＋5とx軸、y軸で囲まれた図形をSとする。Sは図1の灰色部分であり、Sの内部にある格子点を黒丸、内部にない格子点を白丸で表している。したがって、Sの内部にある格子点の個数は6である。
（1）直線y＝3xとx軸、直線x＝21で囲まれた図形をTとする。Tの内部にある格子点の個数を考える。
直線x＝1上の格子点でTの内部にあるものは、点（1，1）と点（1，2）の2個である。点（1，0）と点（1，3）はTの境界にあるため、内部にはない。
nを整数とする。直線x＝nがTの内部にある格子点を通るのは、1≦n≦20のときである。1≦n≦20のとき、直線x＝n上の格子点でTの内部にあるものの個数をanとおく。a1＝2であり、a2＝（ ア ）、a3＝（ イ ）である。数列｛an｝は（ ウ ）が（ エ ）の（ オ ）数列である。
したがって、Tの内部にある格子点の個数は（ カキク ）である。
（ ア ）、（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
例えば、直線y＝−x＋5とx軸、y軸で囲まれた図形をSとする。Sは図1の灰色部分であり、Sの内部にある格子点を黒丸、内部にない格子点を白丸で表している。したがって、Sの内部にある格子点の個数は6である。
（1）直線y＝3xとx軸、直線x＝21で囲まれた図形をTとする。Tの内部にある格子点の個数を考える。
直線x＝1上の格子点でTの内部にあるものは、点（1，1）と点（1，2）の2個である。点（1，0）と点（1，3）はTの境界にあるため、内部にはない。
nを整数とする。直線x＝nがTの内部にある格子点を通るのは、1≦n≦20のときである。1≦n≦20のとき、直線x＝n上の格子点でTの内部にあるものの個数をanとおく。a1＝2であり、a2＝（ ア ）、a3＝（ イ ）である。数列｛an｝は（ ウ ）が（ エ ）の（ オ ）数列である。
したがって、Tの内部にある格子点の個数は（ カキク ）である。
（ ア ）、（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- ア：2 イ：2
- ア：3 イ：5
- ア：5 イ：8
- ア：6 イ：7
- ア：8 イ：8
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この過去問の解説 （3件）
01
Tの内部にある格子点のうち、（ア）直線x＝2, （イ）直線x＝3上に存在する点の個数を求める問題です。
（ア）を例にして考えてみましょう。
下端はx軸とx＝2の交点ですから、（2, 0）ですね。
上端はy＝3xとx＝2の交点ですから、（2, 6）です。
この下端と上端の点はTの境界であり内部ではありませんから、答えに含んではいけません。
あてはまる格子点は（2,1）, （2,2）, （2,3）, （2,4）, （2,5） の5つです。
同様にして（イ）も求めてみましょう。
（イ）についても同様に考えてみましょう。
下端はx軸とx＝3の交点ですから、（3, 0）ですね。
上端はy＝3xとx＝3の交点ですから、（3, 9）です。
この下端と上端の点はTの境界であり内部ではありませんから、答えに含んではいけません。
あてはまる格子点は（3, 1）, （3, 2）, （3, 3）, （3, 4）, （3, 5）, （3, 6）, （3, 7）, （3, 8）, の8つです。
したがって、答えは（ア）＝5, （イ）＝8 です。
境界にある点を含まないように注意しましょう。n＝3くらいまでなら、図に書いてもよいかもしれません。
また、このあとにそなえてx＝nの場合を考えておく（一般化しておく）のもよいでしょう。
一般化する場合は以下のように表すことができます。
図形Tは y＝3x, y＝0, x=21 で囲まれていますよね。
Tの内部にある点かつx＝nを通る点のy座標は 0＜y＜3nを満たす整数になります。
不等号にイコールがついていないため、境界にある点を除くことができます。
これらのことから yに入るのは 1，2，3，…，3n-1
求めたい個数は3n-1（個）です。
この値にnを代入しても、同様に求めることができますよ。
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02
直線y=3xと，x軸で囲まれた部分の格子点を持ってグラフで表すと，
このようになり，
n=1，のときはx=1上の格子点の個数は2個あります。つまりa₁=2
同じように
n=2のとき，a2=5
n=3のとき，a3=8となります。
この選択肢が正解です。
大問の最初の問題このように具体的に考えてもよいです。その後に一般化をしていきましょう。
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03
この問題は、直線x=n上で、図形Tの内部にある格子点が何個あるかを数えれば求められます。
図形Tは、
・y=3x
・x軸
・x=21
で囲まれています。
したがって、直線x=n上では、Tの内部にある点のy座標は、
0＜y＜3nを満たす整数です。
つまり、入るのは、1，2，3，…，3n-1ですから、
個数は3n-1個になります。
これを使うと、
a2=3×2-1=5
a3=3×3-1=8
です。
したがって、あてはまるのは「ア：5 イ：8」です。
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