共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問91 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問5)

mに対する95％信頼区間は
w̄-1.96・σ/√n≦m≦w̄+1.96・σ/√n と表せます。
 

問題より

A=w̄-1.96・σ/√n

B=w̄+1.96・σ/√nと表せるので，
 

B-A

=(w̄+1.96・σ/√n)-(w̄-1.96・σ/√n)
=3.92σ/√n

となります。

問題より

(3.92σ)²≦16n
 

σ=20を代入して
(3.92×20)²≦16n
6146.56≦16n
384.16≦n

よってこの不等式を満たす最小の自然数n₀は
n₀=385になります。

この問題は、前問までで求めた
信頼度95％の信頼区間の幅＝3.92σ／√nを使います。

標本の大きさnが十分大きいとき、標本平均W^-は近似的に正規分布に従い、

平均は m

分散は σ²／n

になります。

したがって、

W^-は近似的に N(m,σ²／n) に従うので、空欄（カ）に入るのは「σ²／n」です。

つまり、標本平均の標準偏差はσ／√nです。

信頼度95％の信頼区間は、標準正規分布の値1.96を使って、

mの推定値 ± 1.96×σ／√n

となります。

したがって、信頼区間の幅は

2×1.96×σ／√n＝3.92σ／√n

です。

さらに、この問題では、
σ＝20、幅を4g以下にしたいので、

3.92×20／√n≦4

を解けばよいです。

計算すると、

78.4／√n≦4
√n≧19.6
n≧19.6²＝384.16

となります。

nは標本の大きさなので自然数です。
したがって、これを満たす最小の自然数は385です。