大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問98 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問2)
問題文
画像内の空欄（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
Oを原点とする座標空間において、Oを中心とする半径1の球面をSとする。S上に二つの点A（1，0，0）、B（a，√（1−a2），0）をとる。ただし、aは−1＜a＜1を満たす実数とする。S上の点Cを、ΔABCが正三角形となるようにとれるかどうかを考えてみよう。
Oを原点とする座標空間において、Oを中心とする半径1の球面をSとする。S上に二つの点A（1，0，0）、B（a，√（1−a2），0）をとる。ただし、aは−1＜a＜1を満たす実数とする。S上の点Cを、ΔABCが正三角形となるようにとれるかどうかを考えてみよう。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問98（数学Ⅱ・数学B（第6問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
画像内の空欄（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
Oを原点とする座標空間において、Oを中心とする半径1の球面をSとする。S上に二つの点A（1，0，0）、B（a，√（1−a2），0）をとる。ただし、aは−1＜a＜1を満たす実数とする。S上の点Cを、ΔABCが正三角形となるようにとれるかどうかを考えてみよう。
Oを原点とする座標空間において、Oを中心とする半径1の球面をSとする。S上に二つの点A（1，0，0）、B（a，√（1−a2），0）をとる。ただし、aは−1＜a＜1を満たす実数とする。S上の点Cを、ΔABCが正三角形となるようにとれるかどうかを考えてみよう。
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この過去問の解説 （1件）
01
※ ベクトルaは→aと表記します。
空欄（イ）の左辺は→(OA)・→(OC)なので、∠AOCの内積とわかります。
その前の文章では△OACと△OABの合同について触れていることから、
この2つの三角形の対応関係から導くことがわかります。
△OAC(橙色三角形)と△OAB(緑色三角形)の2つの三角形の対応関係は、
→(OA)は共通
点Cも点Bも球面S上なので、|→(OC)|=|→(OB)|=1
△ABCが正三角形であることから|→(AC)|=|→(AB)|
だとわかります。
以上から、
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
になります。
わかっている内容を図へ書き込むことが大切になってきます。
・△ABCが正三角形であることによる3つの等しい辺
・OB、OCの補助線
・点A、B、Cは球面S上なので、原点Oからの距離はそれぞれ1であること
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