共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問99 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問3)

（ベクトルaは→aと表記します。）

内積→OA・→OC＝→OA・→OB（問題文中の「これ」）を「ベクトルの成分で表すと」と問題文に書かれていますが設問は点Cのｘ座標は何か、というものになっています。
そのため、まず内積の値を計算してからｘの値を求める問題であると解釈できます。
点Ａと点Ｂの座標は問題文中に記されていますから、△ＯＡＢのベクトルの成分を使った内積の計算の公式（それぞれの成分を掛け合わせて全て足し合わせる）を使って内積の値を計算します。
→OA・→OB＝（1・a）＋(0・√(1-a²))＋(0・0)＝a

また→OA・→OC＝→OA・→OBですから、→OA・→OC＝ a という事になります。
この時点では点Cの座標 x,y,z のいずれも値が不明ですが、

→OA＝(1,0,0)ですので→OA・→OCの計算に関しては→OA・→OC＝(1・x) +(0・y)+(0・z)＝x となります。

他方で→OA・→OC＝ a でしたから、x = a となります。これが（ウ）の解答となります。

もし→OA・→OC＝ x となる事に先に気付いていれば、設問の解答が「内積→OA・→OBの値そのものである」と考えて解答を得る事もできます。
また、この問題ではAの座標（すなわち→OA）が(1,0,0)ですから→OAとの内積は「即座にｘ成分同士の積だけを計算すればよい」と理解して計算する事も可能です。

※ ベクトルaは→aと表記します。

空欄（イ）

△OAC(橙色三角形)と△OAB(緑色三角形)の2つの三角形の対応関係は、
→(OA)は共通
点Cも点Bも球面S上なので、|→(OC)|=|→(OB)|=1
△ABCが正三角形であることから|→(AC)|=|→(AB)|
だとわかります。
以上から、
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
になります。

→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
となることから、実際のベクトルの成分を用い、内積計算することが求められます。
各ベクトル成分は問題本文より以下のとおりです。
→(OA)=（1， 0， 0）
→(OB)=（a， √(1−a²)， 0）
→(OC)=（x， y， z）

各ベクトルの成分から
→(OA)・→(OC)=1*x+0*y+0*z=x
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
x=a
となります。