共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問100 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問4)

（ベクトルaは→aと表記します。）

設問（イ）の解答により
→OB・→OC＝→OA・→OBであり、

設問（ウ）の解答により
→OA・→OB＝ a ですので、
→OB・→OC＝→OA・→OB＝ a 
他方、→OB・→OC を成分によって計算すると、

 →OB・→OC ＝ a・x + √(1-a²) ・y +0・z ＝ ax + √(1-a²) y 
よって、 ax + √(1-a²) y= a
（エ）には a, （オ）には √(1-a²) が入るので、その組み合わせの選択肢が解答となります。
 

（イ）の解答

内積とは２つのベクトルの長さと、なす角の余弦（cosθ）の積です。
問題文中の△OACと△OABは「合同である（つまり対応する辺の長さが等しい）」「対応する角の大きさも等しい」という記述から、
「△OABにおける、△OACと対応する辺のベクトル同士の内積」という選択肢である→OA・→OBが（イ）の解答となります。
 

（ウ）の解答

△ＯＡＢのベクトルの成分を使った内積の計算の公式（それぞれの成分を掛け合わせて全て足し合わせる）を使って内積の値を計算します。

→OA・→OB＝（1・a）＋(0・√(1-a²))＋(0・0)＝a

※ ベクトルaは→aと表記します。

空欄（イ）

△OAC(橙色三角形)と△OAB(緑色三角形)の2つの三角形の対応関係は、
→(OA)は共通
点Cも点Bも球面S上なので、|→(OC)|=|→(OB)|=1
△ABCが正三角形であることから|→(AC)|=|→(AB)|
だとわかります。
以上から、
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
になります。

2行上は
→(OB)・→(OC)=空欄（イ）
→(OB)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
となることから、実際のベクトルの成分を用い、内積計算することが求められます。

各ベクトル成分は問題本文より以下のとおりです。
→(OA)=（1， 0， 0）
→(OB)=（a， √(1−a²), 0）
→(OC)=（x， y， z）

各ベクトルの成分から
→(OB)・→(OC)=a*x+√(1−a²)*y+0*z=ax+(√(1−a²))y
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OB)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
ax+(√(1−a²))y=a
となります。
空欄（ウ）がaなので、そのまま、
空欄（エ）はa、
空欄（オ）は√(1−a²)となります。