大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問114 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問9)

計算で解答を求めてみましょう。

もともとの w =  (γ - α)/(β - α) に対してそのような置き換えを行うと、
 (γ'' - α'')/(β'' - α'') =  (-γ + α)/(β + α) =- (γ - α)/(β + α)
これを w'' と置くと 、前の問題文 (i) を参考にして 
w'' = -(4/z - z)/(2+z) = -(1/z)(4-z²)/(2+z) = -(1/z)(2+z)(2-z)/(2+z)
=-(1/z)(2-z)=1-2/z
w'' と w'' の共役複素数を足し合わせて 0 と置き、問題文(i) のように計算します。

このように|z-1|=1 が得られるので、複素平面上で z は「１を中心とした半径１の円」となります。
それに該当するのは「実軸上の 0 と 2 を通り、虚軸に接している円」の図です。
その選択肢が設問（シ）の解答となります。

同様の計算の設問（ケ）

設問（ク）の値は 0 ですので、計算すべき式の両辺を 2 で割ります。

次に問題文にしたがって z と zの共役複素数を両辺に掛けます。

そして問題文によると、その式が「整理」できるはずであり、選択肢を見ると複素数の何らかの絶対値の形に変形できると推測できます。
絶対値を作れるような式からの推測で、両辺に 1 を加えると「絶対値の２乗＝正の実数」の形を作れます。

その結果、得られる式は |z+1| = 1 であり、その式の選択肢が解答となります。

設問（ク）

wの偏角がπ/2または3π/2 であると問題文中にありますから、
設問（キ）で見たようにw は純虚数です。
w = bi とすると、
ｗとｗの共役複素数の和は bi -bi =0 となりますので、
設問（ク）の解答は「0」の選択肢になります。

設問（キ）

wの偏角がπ/2または3π/2 であると問題文中にありますから、
w は複素数平面上の虚軸上にあり、実部は0の複素数となります。
そのような複素数を純虚数と呼びます。

※ ωの共役を\overline(ω)と表記します。

前問(i)に当てはめて考えます。

本文中に「zを-zに置き換え」とあるように、
この問題でのzをz=x+yi、
前問(i)でのzをz_i=x_i+y_iとすると、
z=-z_i=-x_i-y_ii
z_i=x_i+yiより
x=-x_i, y=-y_i
となります。
つまり、前問(i)の複素数平面を、x軸とy軸で反転させたものになることがわかります。
 

空欄（キ）

偏角がπ/2、3π/2のとき、複素数は実部が0となるので、純虚数になります。
丁寧に解説しますと、ω=x+yi、|ω|=rとすると、
偏角θ=π/2, 3π/2のとき
cosθ(=x/r)=0 → x=0
sinθ(=y/r)=±1 → y=±r
ω=x+yi=±ri
となり、実部が0である純虚数となります。

空欄（ク）

ω=biとすると、
ω+\overline(ω)=bi-bi=0
となります。

空欄（ケ）

2+2/z+2/\overline(z)=0
の両辺にz\overline(z)をかけて整理すると、
z\overline(z)+\overline(z)+z=0
\overline(z)(z+1)+(z+1)=1
(z+1)(\overline(z)+1)=1
(z+1)\overline(z+1)=1
|z+1|²=1
|z+1|>0なので
|z+1|=1

空欄（コ）

z=x+yiとすると、
|z+1|²=1

|(x+yi)+1|²=1
|(x+1)+yi)|²=1
(x+1)²+y²=1

となる。
これは、中心（-1, 0）で半径1の円となる。

あとは前問(i)の複素数平面を、x軸とy軸で反転させたものと同じですので、
(x_i+1)²+y_i²=1
(x-1)²+y²=1
となり、中心（1, 0）で半径1の円となります。

なお、実際に直線ABと直線ACが垂直に交わるための条件式ω''に
α''=-z

β''=2
γ''=-4/z
を代入して計算すると、
ω''=1-2/z

直線ABと直線ACが垂直に交わるための必要十分条件は
|z-1|=1
これから(x-1)²+y²=1となり、中心（1, 0）で半径1の円となります。