大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問114 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問9)

※ ωの共役を\overline(ω)と表記します。

前問(i)に当てはめて考えます。

本文中に「zを-zに置き換え」とあるように、
この問題でのzをz=x+yi、
前問(i)でのzをz_i=x_i+y_iとすると、
z=-z_i=-x_i-y_ii
z_i=x_i+yiより
x=-x_i, y=-y_i
となります。
つまり、前問(i)の複素数平面を、x軸とy軸で反転させたものになることがわかります。
 

空欄（キ）

偏角がπ/2、3π/2のとき、複素数は実部が0となるので、純虚数になります。
丁寧に解説しますと、ω=x+yi、|ω|=rとすると、
偏角θ=π/2, 3π/2のとき
cosθ(=x/r)=0 → x=0
sinθ(=y/r)=±1 → y=±r
ω=x+yi=±ri
となり、実部が0である純虚数となります。

空欄（ク）

ω=biとすると、
ω+\overline(ω)=bi-bi=0
となります。

空欄（ケ）

2+2/z+2/\overline(z)=0
の両辺にz\overline(z)をかけて整理すると、
z\overline(z)+\overline(z)+z=0
\overline(z)(z+1)+(z+1)=1
(z+1)(\overline(z)+1)=1
(z+1)\overline(z+1)=1
|z+1|²=1
|z+1|>0なので
|z+1|=1

空欄（コ）

z=x+yiとすると、
|z+1|²=1

|(x+yi)+1|²=1
|(x+1)+yi)|²=1
(x+1)²+y²=1

となる。
これは、中心（-1, 0）で半径1の円となる。

あとは前問(i)の複素数平面を、x軸とy軸で反転させたものと同じですので、
(x_i+1)²+y_i²=1
(x-1)²+y²=1
となり、中心（1, 0）で半径1の円となります。

なお、実際に直線ABと直線ACが垂直に交わるための条件式ω''に
α''=-z

β''=2
γ''=-4/z
を代入して計算すると、
ω''=1-2/z

直線ABと直線ACが垂直に交わるための必要十分条件は
|z-1|=1
これから(x-1)²+y²=1となり、中心（1, 0）で半径1の円となります。