共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問113 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問8)

もともとの w =  (γ - α)/(β - α) に対して α, β, γ の符号をそれぞれ入れ換えると、
(γ' - α')/(β' - α') =  (-γ + α)/(-β + α)=  (γ - α)/(β - α) = w
つまり、もともとの w と同じ複素数が得られますので、w と wの共役複素数の和が0になるという条件から得られる式を表す z は複素数平面上で前問と同じ結果を表します。
すなわち設問（ケ）と同じ式|z + 1| = 1 が得られますので、
「－１を中心とした半径１の円」を表す図が正解です。
前問（コ）と同じく「実軸上の 0 と -2 を通り、虚軸に接している円」の図の選択肢が設問（サ）の解答となります。

設問（コ）

設問（ケ）の結果の式 |z + 1| = 1は、

複素平面上の点-1を中心とした半径１の円を表します。

実軸と虚軸の成分で表すなら（-1,0）を中心とした半径1の円です。
 

選択肢を見ると図形は円と直線に分かれています。

円の図には中心の位置が記されていませんが、

虚軸に接して 0 と -2 を通る円が「複素平面上の点－１を中心とした半径１の円」に該当しますので、

その図の選択肢が設問（コ）の解答となります。

設問（ケ）

設問（ク）の値は 0 ですので、計算すべき式の両辺を 2 で割ります。

次に問題文にしたがって z と zの共役複素数を両辺に掛けます。

そして問題文によると、その式が「整理」できるはずであり、選択肢を見ると複素数の何らかの絶対値の形に変形できると推測できます。
絶対値を作れるような式からの推測で、両辺に 1 を加えると「絶対値の２乗＝正の実数」の形を作れます。

その結果、得られる式は |z+1| = 1 であり、その式の選択肢が解答となります。

設問（ク）

wの偏角がπ/2または3π/2 であると問題文中にありますから、
設問（キ）で見たようにw は純虚数です。
w = bi とすると、
ｗとｗの共役複素数の和は bi -bi =0 となりますので、
設問（ク）の解答は「0」の選択肢になります。

設問（キ）

wの偏角がπ/2または3π/2 であると問題文中にありますから、
w は複素数平面上の虚軸上にあり、実部は0の複素数となります。
そのような複素数を純虚数と呼びます。

※ ωの共役を\overline(ω)と表記します。

前問(i)に当てはめて考えます。

α'=-z=-α

β'=-2=-β
γ'=-4/z=-γ
から、直線ABと直線ACが垂直に交わるための条件式ω'は
ω'=(γ'-α')/(β'-α')
=((-γ)-(-α))/((-β)-(-α))
=(-(γ-α))/(-(β-α))
=(γ-α)/(β-α)

=ω
となり、前問(i)の条件式ωと同じなることがわかります。
 

実際にω'を求めても
ω'=1+2/z
になり、
ω'=ω
となることがわかります。

空欄（キ）

偏角がπ/2、3π/2のとき、複素数は実部が0となるので、純虚数になります。
丁寧に解説しますと、ω=x+yi、|ω|=rとすると、
偏角θ=π/2, 3π/2のとき
cosθ(=x/r)=0 → x=0
sinθ(=y/r)=±1 → y=±r
ω=x+yi=±ri
となり、実部が0である純虚数となります。

空欄（ク）

ω=biとすると、
ω+\overline(ω)=bi-bi=0
となります。

空欄（ケ）

2+2/z+2/\overline(z)=0
の両辺にz\overline(z)をかけて整理すると、
z\overline(z)+\overline(z)+z=0
\overline(z)(z+1)+(z+1)=1
(z+1)(\overline(z)+1)=1
(z+1)\overline(z+1)=1
|z+1|²=1
|z+1|>0なので
|z+1|=1

空欄（コ）

z=x+yiとすると、
|z+1|²=1

|(x+yi)+1|²=1
|(x+1)+yi)|²=1
(x+1)²+y²=1

となる。
これは、中心（-1, 0）で半径1の円となる。

あとは前問(i)と同じですので、
直線ABと直線ACが垂直に交わるような点z全体を複素数平面上に図示すると、
(x+1)²+y²=1となり、中心（-1, 0）で半径1の円となります。