大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問41 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問4)
問題文
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ エ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ エ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問41（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ エ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ エ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- 2n
- 1／2n
- n・2n
- （−n＋1）・2n
- n・2n−1
- （−n＋1）・2n−1
- n／2n
- （−n＋1）／2n
- n／2n−1
- （−n＋1）／2n−1
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この過去問の解説 （3件）
01
これにならって（X＋2）nを展開すると、次のようになります
(X+2)n=nC0・Xn+nC1・Xn−1・21+…+nCk・Xn-k・2k+…+nCn-1・X1・2n-1+nCn・2n
ここで、Xの項についてnCn-1=nC1=n であることに気をつけると、Xの係数はn・2n-1
となります
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02
二項定理
(a+b)n=nC0・an・b0+nC1・an−1・b1+...+nCk・an−k・bk+...+nCn・a0・bn
を(X+2)nに適用し、X1とX0の項に注目します。
(X+2)n=nC0・Xn・20+nC1・Xn-1・21+...+nCn-2・X2・2n-2+nCn-1・X1・2n-1+nCn・X0・2n
=nC0・Xn・20+nC1・Xn-1・21+...+nCn-2・X2・2n-2+n・2n-1・X+2n
Xの2乗以上の項をX2でくくり、A(X)に置き換えます。
(X+2)n=(nC0・Xn-2・20+nC1・Xn-3・21+...+nCn-2・X0・2n-2)X2+n・2n-1・X+2n
=A(X)・X2+n・2n-1・X+2n
二項定理
(a+b)n=nC0・an・b0+nC1・an−1・b1+...+nCk・an−k・bk+...+nCn・a0・bn
を用い、Xの2乗以上の項をくくりたい、という意図を意識しましょう。
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03
解答：n・2n-1
解説：
（X+2）nに対して二項定理を用いると以下のようになります。
（X+2）n=nC0・Xn・20+nC1・Xn-1・21+………+nCn-1・X1・2n-1+nCn・X0・2n
上式のXの係数はnCn-1・2n-1=n・2n-1となります。
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