大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問40 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問3)
問題文
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（ ウ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（ ウ ）にあてはまるものを一つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問40（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問3） （訂正依頼・報告はこちら）
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（ ウ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（ ウ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- 0
- 1
- 2
- −1
- −2
- 2n
- （−1）n
- −2n
- 1／2n
- −1／2n
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
(ア)(イ)と同様に解きますが、以下の事実を確認しましょう。
xnを2x−1で割ったときの商をQ'(x)、余りをR'とすると、次のように表せます。
xn=(2x-1)Q'(x)+R' … ②
ここで、先ほどと同様に割る式2x-1が0となるようなxを考えると
2x-1=0より
2x=1
x=1/2 となります。
この x=1/2 を②の両辺に代入すると
(1/2)n=0・Q'(x)+R'
(1/2)n=R'
R'=1/2n
が得られます。
本問では、剰余の定理を知っていれば誘導が無くても一瞬ですが、本番で忘れてしまった受験生も、(ア)(イ)を解き進める中で、思い出すことが出来たのではないでしょうか。
公式は、丸暗記よりもなぜその式が生まれるのか考えながら覚えることが大切です。
今回でいえば、割る式のカッコの中が0になる値を代入すると、Q(x)が消えるので余りが求められることでした。
こうして覚えると、忘れてしまっても誘導から思い出すきっかけを得ることが出来ますね。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
空欄（ア)
空欄（イ)
同様の手順で求めます。
xnを2x−1で割ったときの商をQ'（x），余りをk'とおくと、
xn ÷ (2x−1) = Q'(x) ... 余り k'
xn=(2x-1)Q'(x)+k'
今、余りk'を求めたいので、Q'(x)を含んだ項を消したいです。つまり、
(2x-1)Q'(x)=0
これが常に成り立つためには、
2x-1=0
x=1/2
よって、x=1/2のとき、Q'(x)を含んだ項がなくなります。
実際にx=1/2を代入すると、余りk'は、
(1/2)n=0・Q'(1/2)+k'
k'=1/2n
余りk'を求めるために、未知の商Q'(x)を無くしたい、という意図に気が付きましょう。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
解答：1/2n
解説：
xnを（2x-1）で割った商をR（x）、余りをlとすると以下の関係式が得られます。
xn=（2x-1）R（x）+l
上式に、x=1/2を代入すると以下のようになります。
（1/2）n=（2×（1/2）-1）R（x）+l
⇔（1/2）n=l
⇔l=1/2n
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問39）へ
令和7年度（2025年度）追・試験 問題一覧
次の問題（問41）へ