大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問39 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問2)
問題文
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ イ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ イ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問39（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ イ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ イ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- 0
- 1
- 2
- −1
- −2
- 2n
- （−1）n
- −2n
- 1／2n
- −1／2n
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この過去問の解説 （3件）
01
(ア)までの解説
指示の通りに、
xn=（x−2）Q（x）＋k … ① の両辺にx=2を代入すると以下のようになります。
2n=(2-2)Q(2)+k
2n=0・Q(2)+k
2n=k
k=2n
カッコの中が0になってQ(x)が消えたことに気がつきましたか？
本問では、割る式x-2が0になるように、x=2を代入しています。
一般に、P(x)を1次式x-aで割った余りR1は、R1=P(a)で求められます。
また、P(x)を1次式ax+bで割った余りR2は、R2=P(－a/b)で求められます。【剰余の定理】
どちらも、カッコの中を0にするという考え方が活きます。
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02
空欄（ア)
xn=(x-2)Q(x)+k
の両辺のxに2を代入すると、
2n=0・Q(2)+k
k=2n
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03
解答：2n
解説：
（ア）の解答より、
xn=（x-2）Q（x）+k
上式のxに2を代入すると以下のようになります。
2n=（2-2）Q（2）+k
⇔2n=k
⇔k=2n
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