大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問43 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問6)
問題文
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ カ ），（ キ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ カ ），（ キ ）にあてはまるものを一つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問43（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ カ ），（ キ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ カ ），（ キ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- カ：2n キ：（−n＋1）／2n−1
- カ：1／2n キ：n／2n−1
- カ：n・2n−1 キ：（−n＋1）・2n
- カ：（−n＋1）・2n−1 キ：n・2n
- カ：n／2n キ：1／2n
- カ：（−n＋1）／2n キ：2n
- カ：n／2n−1 キ：（−n＋1）・2n−1
- カ：（−n＋1）／2n−1 キ：n／2n
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
(エ)、(カ)と問題文より、二項定理で展開すると以下のようになります。
(X+2)n
=nC0・Xn+nC1・Xn−1・21+…+nCk・Xn-k・2k+…+nCn-1・X1・2n-1+nCn・2n
=A(X)・X2+n・2n-1X+2n
(網掛けの部分はX2でくくったことになります）
ここで、X＝x−2であるため、
(x-2+2)n=A(x-2)・(x-2)2+n・2n-1（x-2)+2n
※A(x-2)はある多項式を表しているので、(x-2)2と掛けることはできません
xn=(x-2)2・A(x-2)+n・2n-1x-n・2n-1・2+2n
xn=(x-2)2・A(x-2)+n・2n-1x+(-1+n)・2n
以上のように変形することができて、この式はxnを(x-2)2で割った商がA(x-2)、余りがn・2n-1x+(-1+n)・2nとなることを表しています。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
空欄(エ)、(オ)
X＝x−2で戻すと、
(x−2+2)n=A(x−2)・(x−2)2+n・2n-1・(x−2)+2n
xn=A(x−2)・(x−2)2+n・2n-1・x-n・2n+2n
xn=A(x−2)・(x−2)2+n・2n-1・x+(-n+1)・2n
本文「xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。」とあるので、A(x−2)を商と考え、
R（x）=n・2n-1・x+(-n+1)・2n
と置くと
xn=A(x−2)・(x−2)2+R（x）
となります。
元々は、xnを（x−2）2で割ったときの余りR（x）を求めたかったために、
X=x-2と置き二項定理を用いてxnを分解している、という流れを思い出しましょう。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
解答：カ：n・2n-1、キ：（-n+1）・2n
解説：
（オ）までの結果より、
（X+2）n=A（X）・X2+n・2n-1X+2n
上式にX=x-2を代入すると、以下のようになります。
xn=A（x-2）・（x-2）2+n・2n-1（x-2）+2n
上式における下線部がR（x）であるため、
R（x）=n・2n-1x+（-1+n）・2n
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問42）へ
令和7年度（2025年度）追・試験 問題一覧
次の問題（問44）へ