大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問44 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7)
問題文
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを（2x−1）2で割ったときの余りは、
（ ク ）x＋（ ケ ）である。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを（2x−1）2で割ったときの余りは、
（ ク ）x＋（ ケ ）である。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問44（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを（2x−1）2で割ったときの余りは、
（ ク ）x＋（ ケ ）である。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを（2x−1）2で割ったときの余りは、
（ ク ）x＋（ ケ ）である。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- ク：2n ケ：（−n＋1）／2n−1
- ク：1／2n ケ：（−n＋1）・2n−1
- ク：n・2n ケ：（−n＋1）／2n
- ク：（−n＋1）・2n−1 ケ：n・2n
- ク：n／2n ケ：1／2n
- ク：（−n＋1）／2n ケ：2n
- ク：n／2n−1 ケ：（−n＋1）／2n
- ク：（−n＋1）／2n−1 ケ：n／2n−1
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この過去問の解説 （3件）
01
（i）と同様に考えると、花子さんは割る式のカッコの中をXとおいていたことに着目できます。
同じように、今度は（2x−1）2で割るので、X=2x-1とおきましょう。
このとき x=1/2(X+1)であるため、(i)と同様に二項定理を用いて展開すると
xn
=｛1/2(X+1)｝n
=(1/2)n(nC0・Xn+nC1・Xn-1・11+…+nCk・Xk・1n-k+…+nCn-1・X1・1n-1+nCn・1n)
ここで、Xの項と定数項以外の項をX2でくくって得られる多項式をB(X)とすると
｛1/2(X+1)｝n=1/2n{B(X)・X2+nX+1}
と変形できます。
X=2x-1 であるため、代入して元に戻すと
xn=1/2n{B(2x-1)・(2x-1)2+n(2x-1)+1}
xn=1/2nB(2x-1)・(2x-1)2+1/2n(2nx-n+1)
xn=(2x-1)2・1/2n・B(2x-1)+n/2n-1x+(-n+1)/2n
と変形できます。
この式は、ｘnを(2x-1)2で割った商が1/2n・B(2x-1)、余りがn/2n-1x+(-n+1)/2nとなることを表しています。
一つ前の設問と同様に計算する問題です。
前の設問で何をしているのかをよく考えながら振り返ることが重要となります。
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02
空欄(エ)、(オ)
空欄(カ)、(キ)
今回は
X＝2x-1
として考えます。
x=(1/2)・(X+1)
xn=(1/2)n・(X+1)n
二項定理
(a+b)n=nC0・an・b0+nC1・an−1・b1+...+nCk・an−k・bk+...+nCn・a0・bn
を(X+1)nに適用し、X1とX0の項に注目します。
(X+1)n=nC0・Xn・10+nC1・Xn-1・11+...+nCn-2・X2・1n-2+nCn-1・X1・1n-1+nCn・X0・1n
=nC0・Xn・10+nC1・Xn-1・11+...+nCn-2・X2・1n-2+n・X+1
Xの2乗以上の項をX2でくくり、A(X)に置き換えます。
(X+1)n=(nC0・Xn-2・10+nC1・Xn-3・11+...+nCn-2・X0・1n-2)X2+n・X+1
=A(X)・X2+n・X+1
以上より、
xn=(1/2)n・(X+1)n
=(1/2)n・(A(X)・X2+n・X+1)
=(1/2)n・A(X)・X2+n・X/2n+1/2n
X＝2x-1を戻すと、
xn=(1/2)n・A(2x-1)・(2x-1)2+n・(2x-1)/2n+1/2n
=(1/2)n・A(2x-1)・(2x-1)2+n・x/2n-1+(-n+1)/2n
ここで
R（x）=n・x/2n-1+(-n+1)/2n
と置くと
xn=(1/2)n・A(2x-1)・(2x-1)2+R（x）
となります。
xnを（2x−1）2で割ったときの余りR（x）を求めたい
→X=2x−1と置き二項定理を用いてxnを分解する
という流れを利用しましょう。
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03
解答：ク：n/2n-1、ケ：（-n+1）/2n
解説：
X=2x-1とおきます。このとき、
xn={1/2（X+1）}n
=（1/2）n（nC0・Xn・10+nC1・Xn-1・11+………+nCn-1・X1・1n-1+nCn・X0・1n）
上式において、Xの項の係数はn、定数項は1となります。
これら以外の項はX2で割り切れるので、{1/2（X+1）}nはある多項式A（X）を用いて、
{1/2（X+1）}n=（1/2）n{A（X）・X2+nX+1}
X=2x-1を代入すると、
xn=（1/2）n{A（2x-1）・（2x-1）2+n（2x-1）+1}
=（1/2）n（A（2x-1）・（2x-1）2）+（1/2）n・2nx+（-n+1）・（1/2）n
上式における下線部がxnを（2x-1）2で割ったあまりであるため、
求めるあまりは以下のようになります。
n/2n-1x+（-n+1）/2n
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