大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問44 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7)
問題文
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを（2x−1）2で割ったときの余りは、
（ ク ）x＋（ ケ ）である。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを（2x−1）2で割ったときの余りは、
（ ク ）x＋（ ケ ）である。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問44（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
nを3以上の自然数とする。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを（2x−1）2で割ったときの余りは、
（ ク ）x＋（ ケ ）である。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）xnをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xnをQ（x）とkを用いて表すと
xn＝（ ア ）・・・・・①
となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（ イ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを2x−1で割ったときの余りは、（ ウ ）であることがわかる。
（2）次に、xnを（x−2）2や（2x−1）2で割ったときの余りについて考えよう。
（ⅰ）xnを（x−2）2で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。
太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。
花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。
X＝x−2とおく。このとき
xn＝（X＋2）n
である。（X＋2nを展開すると、Xの項の係数は（ エ ）、定数項は（ オ ）となる。これら以外の項はX2で割り切れるので、（X＋2）nは、ある多項式A（X）を用いて
（X＋2）n＝A（X）・X2＋（ エ ）X＋（ オ ）
と表すことができる。このことから
R（x）＝（ カ ）x＋（ キ ）であることがわかる。
（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xnを（2x−1）2で割ったときの余りは、
（ ク ）x＋（ ケ ）である。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- ク：2n ケ：（−n＋1）／2n−1
- ク：1／2n ケ：（−n＋1）・2n−1
- ク：n・2n ケ：（−n＋1）／2n
- ク：（−n＋1）・2n−1 ケ：n・2n
- ク：n／2n ケ：1／2n
- ク：（−n＋1）／2n ケ：2n
- ク：n／2n−1 ケ：（−n＋1）／2n
- ク：（−n＋1）／2n−1 ケ：n／2n−1
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この過去問の解説 （1件）
01
解答：ク：n/2n-1、ケ：（-n+1）/2n
解説：
X=2x-1とおきます。このとき、
xn={1/2（X+1）}n
=（1/2）n（nC0・Xn・10+nC1・Xn-1・11+………+nCn-1・X1・1n-1+nCn・X0・1n）
上式において、Xの項の係数はn、定数項は1となります。
これら以外の項はX2で割り切れるので、{1/2（X+1）}nはある多項式A（X）を用いて、
{1/2（X+1）}n=（1/2）n{A（X）・X2+nX+1}
X=2x-1を代入すると、
xn=（1/2）n{A（2x-1）・（2x-1）2+n（2x-1）+1}
=（1/2）n（A（2x-1）・（2x-1）2）+（1/2）n・2nx+（-n+1）・（1/2）n
上式における下線部がxnを（2x-1）2で割ったあまりであるため、
求めるあまりは以下のようになります。
n/2n-1x+（-n+1）/2n
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