大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問44 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7)

nを3以上の自然数とする。
（1）xⁿをx−2や2x−1で割ったときの余りについて考えよう。

（ⅰ）xⁿをx−2で割ったときの商をQ（x），余りをkとおく。xⁿをQ（x）とkを用いて表すと

xⁿ＝（　ア　）・・・・・①

となる。①の両辺のxに2を代入すると、k＝（　イ　）であることがわかる。

（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xⁿを2x−1で割ったときの余りは、（　ウ　）であることがわかる。

（2）次に、xⁿを（x−2）²や（2x−1）²で割ったときの余りについて考えよう。

（ⅰ）xⁿを（x−2）²で割ったときの余りをR（x）とおく。
太郎さんと花子さんは、R（x）の求め方について話している。

太郎：（1）と同じように考えても、余りをうまく求められないね。
花子：X＝x−2とおいてみるのはどうだろう。

花子さんの提案する方法で、余りを求めてみよう。

X＝x−2とおく。このとき

xⁿ＝（X＋2）ⁿ

である。（X＋2ⁿを展開すると、Xの項の係数は（　エ　）、定数項は（　オ　）となる。これら以外の項はX²で割り切れるので、（X＋2）ⁿは、ある多項式A（X）を用いて

（X＋2）ⁿ＝A（X）・X²＋（　エ　）X＋（　オ　）

と表すことができる。このことから

R（x）＝（　カ　）x＋（　キ　）であることがわかる。

（ⅱ）（ⅰ）と同様に考えると、xⁿを（2x−1）²で割ったときの余りは、
（　ク　）x＋（　ケ　）である。

（　ク　），（　ケ　）にあてはまるものを一つ選べ。