共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問68 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問8)

（Ⅰ）　　a＞4ならば、すべての自然数nについてc_n＞4が成り立つ。　について

表1のa=5の行を見ると、c₂、c₃、c₄ が負なので、これらが反例となり、偽です。

（Ⅱ）　　a≦4ならば、すべての自然数nについてc_n≦4が成り立つ。　について

(2)の議論より、c_k＋1≦4はc_kの値によらず成り立つため、c_n≦4が成り立ち、真です。

（Ⅲ）　　a＜0ならば、すべての自然数nについてc_n＜0が成り立つ。　について

c_k+1=−1/2c_k²＋4<0　が成り立つ範囲を考えると

c_k−8>0

(c_k+2√2)(c_k-2√2)>0

c_k<-2√2、2√2<c_k　となるため

−2√2≦c_n≦2√2　となる nに対しては　c_n＜0　が成り立たないことが分かります

例えば、a=c₁=−1のとき （-2√2≦c₁）

c₂=−1/2c₁²＋4=−1/2・(-1)²＋4=3/4>0　となり、このa=−1が反例です。したがって、偽です。

命題(I)「a>4ならば、すべての自然数nについてc_n>4が成り立つ。」について
表1のa=5のとき、c₂、c₃、c₄は負のため、命題(I)は偽です。

命題(II)「a≦4ならば、すべての自然数nについてc_n≦4が成り立つ。」について
空欄(タ)、(チ)

c_k+1≦4が成り立つとすると、
c_k+1=-1/2c_k²+4を代入、
-1/2c_k²+4≦4
c_k²≧0

よって、c_kの値に関わらず常に成り立つことがわかります。

-4≦c_k+1が成り立つとすると、
c_k+1=-1/2c_k²+4を代入、
-4≦-1/2c_k²+4
c_k²≦16
-4≦c_k≦4
よって、c_kが-4≦c_k≦4のときに成り立つことがわかります。

命題1「kを自然数とする。−4≦c_k≦4が成り立つならば、−4≦c_k+1≦4が成り立つ。」

命題2「−4≦a≦4ならば、すべての自然数nについて−4≦c_n≦4が成り立つ。」
命題2により、命題(II)は真です。

命題(III)「a<0ならば、すべての自然数nについてc_n<0が成り立つ。」について

今、a(=c₁)の条件がわかっていますので、c₂<0が成り立つかについて考えます。

c₂=-1/2c₁²+4<0
a²>8

a<-2√(2) または 2√(2)<a
a<0の条件に当てはまらないので、偽です。

解答：（Ⅰ）：偽、（Ⅱ）：真、（Ⅲ）：偽

解説：

命題（Ⅰ）について考えます。

α=5のとき、c₂、c₃、c₄において負の値になっているので、偽です。

命題（Ⅱ）について考えます。

（タ）の結果より、すべてのkについて、c_k≦4です。

よって、命題（Ⅱ）は真です。

命題（Ⅲ）について考えます。

α=-2のとき、①に代入すると、

c₂=-1/2×（-2）²+4=0

よって、以上が反例なので、偽です。