大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問67 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問7)

（3）aを実数とする。数列｛c_n｝を次の式で定める。

c₁＝a，

c_n＋1＝−1／2c_n²＋4（n＝1，2，3，・・・）・・・・・①

花子さんと太郎さんは、数列｛c_n｝について話している。

花子：一般項c_nを求めてみようか。
太郎：一般項を式で表すのは難しそうだから、aとnをいろいろ変えてみて，c_nの具体的な値を調べてみよう。
花子：コンピュータでたくさん計算してみたけれど、−4≦c_n≦4が成り立つことが多いね。
太郎：−4≦c_k≦4が成り立つと、−4≦c_k＋1≦4も成り立つように見えるね。

（ⅰ）太郎さんは、次の命題1が真であることを証明しようと考えた。

命題1
kを自然数とする。−4≦c_k≦4が成り立つならば、−4≦c_k＋1≦4が成り立つ。

数列｛c_n｝は①を満たすので、次が成り立つ。
・すべての自然数kについて、c_k＋1≦4は、（　タ　）。
・すべての自然数kについて、−4≦c_k＋1は、（　チ　）。

したがって、命題1は真である。また、命題1を用いると、数学的帰納法により次の命題2が真であることがわかる。

命題2
−4≦a≦4ならば、すべての自然数nについて−4≦c_n≦4が成り立つ。

（　タ　），（　チ　）にあてはまるものを一つ選べ。