共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問67 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問7)
問題文
（3）aを実数とする。数列｛cn｝を次の式で定める。
c1＝a，
cn＋1＝−1／2cn2＋4（n＝1，2，3，・・・）・・・・・①
花子さんと太郎さんは、数列｛cn｝について話している。
花子：一般項cnを求めてみようか。
太郎：一般項を式で表すのは難しそうだから、aとnをいろいろ変えてみて，cnの具体的な値を調べてみよう。
花子：コンピュータでたくさん計算してみたけれど、−4≦cn≦4が成り立つことが多いね。
太郎：−4≦ck≦4が成り立つと、−4≦ck＋1≦4も成り立つように見えるね。
（ⅰ）太郎さんは、次の命題1が真であることを証明しようと考えた。
命題1
kを自然数とする。−4≦ck≦4が成り立つならば、−4≦ck＋1≦4が成り立つ。
数列｛cn｝は①を満たすので、次が成り立つ。
・すべての自然数kについて、ck＋1≦4は、（ タ ）。
・すべての自然数kについて、−4≦ck＋1は、（ チ ）。
したがって、命題1は真である。また、命題1を用いると、数学的帰納法により次の命題2が真であることがわかる。
命題2
−4≦a≦4ならば、すべての自然数nについて−4≦cn≦4が成り立つ。
（ タ ），（ チ ）にあてはまるものを一つ選べ。
c1＝a，
cn＋1＝−1／2cn2＋4（n＝1，2，3，・・・）・・・・・①
花子さんと太郎さんは、数列｛cn｝について話している。
花子：一般項cnを求めてみようか。
太郎：一般項を式で表すのは難しそうだから、aとnをいろいろ変えてみて，cnの具体的な値を調べてみよう。
花子：コンピュータでたくさん計算してみたけれど、−4≦cn≦4が成り立つことが多いね。
太郎：−4≦ck≦4が成り立つと、−4≦ck＋1≦4も成り立つように見えるね。
（ⅰ）太郎さんは、次の命題1が真であることを証明しようと考えた。
命題1
kを自然数とする。−4≦ck≦4が成り立つならば、−4≦ck＋1≦4が成り立つ。
数列｛cn｝は①を満たすので、次が成り立つ。
・すべての自然数kについて、ck＋1≦4は、（ タ ）。
・すべての自然数kについて、−4≦ck＋1は、（ チ ）。
したがって、命題1は真である。また、命題1を用いると、数学的帰納法により次の命題2が真であることがわかる。
命題2
−4≦a≦4ならば、すべての自然数nについて−4≦cn≦4が成り立つ。
（ タ ），（ チ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問67（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
（3）aを実数とする。数列｛cn｝を次の式で定める。
c1＝a，
cn＋1＝−1／2cn2＋4（n＝1，2，3，・・・）・・・・・①
花子さんと太郎さんは、数列｛cn｝について話している。
花子：一般項cnを求めてみようか。
太郎：一般項を式で表すのは難しそうだから、aとnをいろいろ変えてみて，cnの具体的な値を調べてみよう。
花子：コンピュータでたくさん計算してみたけれど、−4≦cn≦4が成り立つことが多いね。
太郎：−4≦ck≦4が成り立つと、−4≦ck＋1≦4も成り立つように見えるね。
（ⅰ）太郎さんは、次の命題1が真であることを証明しようと考えた。
命題1
kを自然数とする。−4≦ck≦4が成り立つならば、−4≦ck＋1≦4が成り立つ。
数列｛cn｝は①を満たすので、次が成り立つ。
・すべての自然数kについて、ck＋1≦4は、（ タ ）。
・すべての自然数kについて、−4≦ck＋1は、（ チ ）。
したがって、命題1は真である。また、命題1を用いると、数学的帰納法により次の命題2が真であることがわかる。
命題2
−4≦a≦4ならば、すべての自然数nについて−4≦cn≦4が成り立つ。
（ タ ），（ チ ）にあてはまるものを一つ選べ。
c1＝a，
cn＋1＝−1／2cn2＋4（n＝1，2，3，・・・）・・・・・①
花子さんと太郎さんは、数列｛cn｝について話している。
花子：一般項cnを求めてみようか。
太郎：一般項を式で表すのは難しそうだから、aとnをいろいろ変えてみて，cnの具体的な値を調べてみよう。
花子：コンピュータでたくさん計算してみたけれど、−4≦cn≦4が成り立つことが多いね。
太郎：−4≦ck≦4が成り立つと、−4≦ck＋1≦4も成り立つように見えるね。
（ⅰ）太郎さんは、次の命題1が真であることを証明しようと考えた。
命題1
kを自然数とする。−4≦ck≦4が成り立つならば、−4≦ck＋1≦4が成り立つ。
数列｛cn｝は①を満たすので、次が成り立つ。
・すべての自然数kについて、ck＋1≦4は、（ タ ）。
・すべての自然数kについて、−4≦ck＋1は、（ チ ）。
したがって、命題1は真である。また、命題1を用いると、数学的帰納法により次の命題2が真であることがわかる。
命題2
−4≦a≦4ならば、すべての自然数nについて−4≦cn≦4が成り立つ。
（ タ ），（ チ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- タ：ckの値によらず成り立つ チ：ck≦4ならば成り立ち、4＜ckならば成り立たない
- タ：ckの値によらず成り立つ チ：−4≦ckならば成り立ち、ck＜−4ならば成り立たない
- タ：ckの値によらず成り立つ チ：−4≦ck≦4ならば成り立ち、ck＜−4または4＜ckならば成り立たない
- タ：ckの値によらず成り立たない チ：ck≦4ならば成り立ち、4＜ckならば成り立たない
- タ：ckの値によらず成り立たない チ：−4≦ckならば成り立ち、ck＜−4ならば成り立たない
- タ：ckの値によらず成り立たない チ：−4≦ck≦4ならば成り立ち、ck＜−4または4＜ckならば成り立たない
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この過去問の解説 （3件）
01
すべての自然数kについて、ck＋1≦4 が成り立つどうか調べます。
①：cn＋1＝−1/2cn2＋4 より
(左辺)−(右辺)=ck+1−4=−1/2ck2＋4−4=−1/2ck2
実数ckに対し、−1/2ck2≦0 であるため ck+1−4≦0
すなわち、ck＋1≦4はckの値によらず成り立つことが分かります。
同様に、すべての自然数kについて、−4≦ck＋1が成り立つどうか調べます。
(左辺)−(右辺)=−4−ck＋1=−4−(−1/2ck2＋4)
=1/2ck2−8
ここで、−4≦ck＋1、すなわち 1/2ck2−8≦0が成り立つckの範囲を求めると
ck2−16≦0
(ck−4)(ck+4)≦0
−4≦ck≦4 となるため
−4≦ck＋1は、−4≦ck≦4のとき成り立ち、ck<−4、4<ckのときは成り立たないことが分かります。
（以上より、−4≦ck≦4のときck＋1≦4と−4≦ck＋1がともに成り立つので、
命題1：−4≦ck≦4が成り立つならば、−4≦ck＋1≦4が成り立つ は真であるといえます。）
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02
ck+1≦4が成り立つとすると、
ck+1=-1/2ck2+4を代入、
-1/2ck2+4≦4
ck2≧0
よって、ckの値に関わらず常に成り立つことがわかります。
-4≦ck+1が成り立つとすると、
ck+1=-1/2ck2+4を代入、
-4≦-1/2ck2+4
ck2≦16
-4≦ck≦4
よって、ckが-4≦ck≦4のときに成り立つことがわかります。
丁寧にそれぞれの条件を求めましょう。
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03
解答：タ：ckの値によらず成り立つ、チ：-4≦ck≦4ならば成り立ち、ck＜-4または4＜ckならば成り立たない
解説：
ck+1≦4
上式にck+1=-1/2ck2+4を代入すると、
-1/2ck2+4≦4
ck2≧0
よって、ckの値によらず成り立ちます。
-4≦ck+1
上式にck+1=-1/2ck2+4を代入すると、
-4≦-1/2ck2+4
⇔-8≦-1/2ck2
⇔16≧ck2
⇔-4≦ck≦4
よって、-4≦ck≦4ならば成り立ち、ck＜-4または4＜ckならば成り立たちません。
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