共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問66 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問6)

b_n=3（-1/2)^n-1-6　であり

すべての自然数nについて（-1/2)^n-1≦1が成り立つので

3（-1/2)^n-1≦1・3

3（-1/2)^n-1-6≦3-6

3（-1/2)^n-1-6≦-3<0

すなわち常にb_n<0　が成り立ちます

空欄(ク)

b_n, b_n+1をそれぞれβと置くと、特性方程式は

β=-1/2β-9
β=-6
よって、
b_n+1=-1/2b_n-9
b_n+1+6=-1/2(b_n+6)

空欄(ケ)〜(ス)

b'_n=b_n+6とすると、

b'₁=b₁+6=3

b'_n+1=-1/2b'_n

これは、初項b'₁=3、公比r=b'_n+1/b'_n=-1/2(ただしb'_n=b_n+6≠0)の等比数列なので
b'_n=b'₁(r)^n-1=3(-1/2)^n-1

b_n+6=3(-1/2)^n-1

b_n=3(-1/2)^n-1-6

空欄(セ)

nが奇数のとき、n=2n'+1(n'=0, 1, 2, 3, ...)とすると、
(-1/2)^n-1=(-1/2)^2n'+1-1=(-1/2)^2n'=(1/4)^n'=1, 1/4, 1/16, ...
となり、n'=0(つまりn=1)のときの1を最大とし、n'が増えるにつれて(-1/2)^n-1は0に近づいていきます。
よって、0<(-1/2)^n-1≦1

nが偶数のとき、n=2n'(n'=1, 2, 3, ...)とすると、
(-1/2)^n-1=(-1/2)^2n'-1=(-1/2)^-1(-1/2)^2n'=(-2)(1/4)^n'<0
(正確には-1/2≦(-1/2)^n-1<0の範囲となります)

よって、n=1, 2, 3, ...のとき、(-1/2)^n-1≦Aが成り立つような最小の実数Aは
n=1のときの(-1/2)^n-1=1となります。

(-1/2)^n-1≦1

から、

b_n=3(-1/2)^n-1-6≦-3<0
であることがわかります。

解答：すべての自然数nについてb_n<0が成り立つ。

解説：

（セ）より、

（-1/2）^n-1≦1

なので、上式を変形すると、

3（-1/2）^n-1≦3

⇔3（-1/2）^n-1-6≦-3<0

したがって、b_n<0