共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問65 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問5)

b_n＋1＝(−1／2)b_n−9　のb_n+1とb_nをともにxで置き換えた方程式

x=-1/2x-9　…　①　を考えます。（この①を『特性方程式』といいます。）

 

①を解くと (3/2)x=-9

　　　　　x=-9・(2/3)

　　　　　x=-6　となることを用いて

 

与えられた漸化式は

b_n＋1+6＝(−1／2)(b_n+6)

 

と変形できます。

 

この変形により、数列 {b_n+6} は公比-1/2の等比数列であるといえます

（わかりにくい場合は b_n+6=c_n と置き換えると見やすくなります）

 

{b_n+6} の初項 b₁+6=-3+6=3 より

 

初項3、公比-1/2の等比数列なので

b_n+6=3（-1/2)^n-1

　b_n=3（-1/2)^n-1-6　となります。

すべての自然数nについて（-1/2)^n-1≦Aが成り立つような最小の実数Aを考えます。

nが奇数すなわちn-1が偶数のとき、（-1/2)^n-1は常に正で、nが大きくなるにつれて（-1/2)^n-1は小さくなります。

すなわち（-1/2)^n-1はn=1のとき最大値1を取り、0<（-1/2)^n-1≦1 が成り立ちます

nが偶数すなわちn-1が奇数のとき、（-1/2)^n-1は常に負で、nが大きくなるにつれて（-1/2)^n-1は大きく（絶対値は小さく）なります。

すなわち（-1/2)^n-1はn=2のとき最小値-1/2を取り、-1/2≦（-1/2)^n-1<0 が成り立ちます

これらより、すべての自然数nについて（-1/2)^n-1≦1が成り立ち、このA=1が、すべての自然数nについて（-1/2)^n-1≦Aが成り立つような最小の実数であるといえます。

空欄(ク)

b_n, b_n+1をそれぞれβと置くと、特性方程式は

β=-1/2β-9
β=-6
よって、
b_n+1=-1/2b_n-9
b_n+1+6=-1/2(b_n+6)

空欄(ケ)〜(ス)

b'_n=b_n+6とすると、

b'₁=b₁+6=3

b'_n+1=-1/2b'_n

これは、初項b'₁=3、公比r=b'_n+1/b'_n=-1/2(ただしb'_n=b_n+6≠0)の等比数列なので
b'_n=b'₁(r)^n-1=3(-1/2)^n-1

b_n+6=3(-1/2)^n-1

b_n=3(-1/2)^n-1-6

nが奇数のとき、n=2n'+1(n'=0, 1, 2, 3, ...)とすると、
(-1/2)^n-1=(-1/2)^2n'+1-1=(-1/2)^2n'=(1/4)^n'=1, 1/4, 1/16, ...
となり、n'=0(つまりn=1)のときの1を最大とし、n'が増えるにつれて(-1/2)^n-1は0に近づいていきます。
よって、0<(-1/2)^n-1≦1

nが偶数のとき、n=2n'(n'=1, 2, 3, ...)とすると、
(-1/2)^n-1=(-1/2)^2n'-1=(-1/2)^-1(-1/2)^2n'=(-2)(1/4)^n'<0
(正確には-1/2≦(-1/2)^n-1<0の範囲となります)

よって、n=1, 2, 3, ...のとき、(-1/2)^n-1≦Aが成り立つような最小の実数Aは
n=1のときの(-1/2)^n-1=1となります。

解答：1

解説：

（-1/2）^n-1において、nが増加すると、（-1/2）^n-1の絶対値は小さくなります。

また、nが奇数の時、正になるので、nが正の自然数で最も小さいとき、

A-1＜（-1/2）^n-1≦Aとなります。

nが正の自然数で最も小さいとき、すなわちn=1のとき、

（-1/2）^1-1=1

よって、A=1