共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問64 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問4)

b_n＋1＝(−1／2)b_n−9　のb_n+1とb_nをともにxで置き換えた方程式

x=-1/2x-9　…　①　を考えます。（この①を『特性方程式』といいます。）

 

①を解くと (3/2)x=-9

　　　　　x=-9・(2/3)

　　　　　x=-6　となることを用いて

 

与えられた漸化式は

b_n＋1+6＝(−1／2)(b_n+6)

 

と変形できます。

この変形により、数列 {b_n+6} は公比-1/2の等比数列であるといえます

（わかりにくい場合は b_n+6=c_n と置き換えると見やすくなります）

{b_n+6} の初項 b₁+6=-3+6=3 より

初項3、公比-1/2の等比数列なので

b_n+6=3（-1/2)^n-1

　b_n=3（-1/2)^n-1-6　となります。

空欄(ク)

b_n, b_n+1をそれぞれβと置くと、特性方程式は

β=-1/2β-9
β=-6
よって、
b_n+1=-1/2b_n-9
b_n+1+6=-1/2(b_n+6)

b'_n=b_n+6とすると、

b'₁=b₁+6=3

b'_n+1=-1/2b'_n

これは、初項b'₁=3、公比r=b'_n+1/b'_n=-1/2(ただしb'_n=b_n+6≠0)の等比数列なので
b'_n=b'₁(r)^n-1=3(-1/2)^n-1

b_n+6=3(-1/2)^n-1

b_n=3(-1/2)^n-1-6

解答：3（-1/2）^n-1-6

解説：

（ク）より、

b_n+1+6=-1/2(b_n+6)

数列{b_n+6}の初項は3、公比は-1/2なので、

b_n+6=3（-1/2）^n-1

⇔b_n=3（-1/2）^n-1-6