共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問63 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問3)
問題文
（2）数列｛bn｝を次の式で定める。
b1＝−3，bn＋1＝−1／2bn−9（n＝1，2，3，・・・）
このとき
bn＋1＋（ ク ）＝−1／2（bn＋（ ク ））（n＝1，2，3，・・・）
が成り立つ。したがって、｛bn｝の一般項は
bn＝［ ケ ］（［ コサ ］／［ シ ］）n−1−［ ス ］
である。
すべての自然数nについて（［ コサ ］／［ シ ］）n−1≦Aが成り立つような最小の実数
Aは、A＝（ セ ）である。
（ ク ）にあてはまるものを一つ選べ。
b1＝−3，bn＋1＝−1／2bn−9（n＝1，2，3，・・・）
このとき
bn＋1＋（ ク ）＝−1／2（bn＋（ ク ））（n＝1，2，3，・・・）
が成り立つ。したがって、｛bn｝の一般項は
bn＝［ ケ ］（［ コサ ］／［ シ ］）n−1−［ ス ］
である。
すべての自然数nについて（［ コサ ］／［ シ ］）n−1≦Aが成り立つような最小の実数
Aは、A＝（ セ ）である。
（ ク ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問63（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問3） （訂正依頼・報告はこちら）
（2）数列｛bn｝を次の式で定める。
b1＝−3，bn＋1＝−1／2bn−9（n＝1，2，3，・・・）
このとき
bn＋1＋（ ク ）＝−1／2（bn＋（ ク ））（n＝1，2，3，・・・）
が成り立つ。したがって、｛bn｝の一般項は
bn＝［ ケ ］（［ コサ ］／［ シ ］）n−1−［ ス ］
である。
すべての自然数nについて（［ コサ ］／［ シ ］）n−1≦Aが成り立つような最小の実数
Aは、A＝（ セ ）である。
（ ク ）にあてはまるものを一つ選べ。
b1＝−3，bn＋1＝−1／2bn−9（n＝1，2，3，・・・）
このとき
bn＋1＋（ ク ）＝−1／2（bn＋（ ク ））（n＝1，2，3，・・・）
が成り立つ。したがって、｛bn｝の一般項は
bn＝［ ケ ］（［ コサ ］／［ シ ］）n−1−［ ス ］
である。
すべての自然数nについて（［ コサ ］／［ シ ］）n−1≦Aが成り立つような最小の実数
Aは、A＝（ セ ）である。
（ ク ）にあてはまるものを一つ選べ。
- ク：3
- ク：4
- ク：5
- ク：6
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この過去問の解説 （3件）
01
bn＋1＝(−1／2)bn−9 のbn+1とbnをともにxで置き換えた方程式
x=-1/2x-9 … ① を考えます。（この①を『特性方程式』といいます。）
①を解くと (3/2)x=-9
x=-9・(2/3)
x=-6 となることを用いて
与えられた漸化式は
bn＋1+6＝(−1／2)(bn+6)
と変形できます。
an+1=pan+q 型の漸化式は
an+1-α=p(an-α) の形に変形することを目指します
このαは、an+1=pan+q のをのan+1とanをともにxで置き換えた方程式 x=px+q （特性方程式）の解であると知られています。
この変形によって an-α を等比数列として考える求め方（次問まで）は、漸化式問題の基本なので、流れを必ず覚えましょう。
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02
bn, bn+1をそれぞれβと置くと、特性方程式は
β=-1/2β-9
β=-6
よって、
bn+1=-1/2bn-9
bn+1+6=-1/2(bn+6)
特性方程式を利用した求め方ができるようにしましょう。
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03
解答：6
解説：
特性方程式は以下のようになります。
α=-α/2-9
⇔α=-6
よって、bn+1+6=-1/2(bn+6)
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