共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問62 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問2)

一般に、初項a、公比rの等比数列の一般項は　a_n=ar^n-1と表されます

 

今回の漸化式　a_n＋1＝（−1／2）a_n　は{a_n} が公比-1/2の等比数列であることを表すため

初項 a₁=-3より

 

a_n=-3・(-1/2)^n-1となります。

nが奇数すなわちn-1が偶数のとき、(-1/2)^n-1は正、-3・(-1/2)^n-1は負なので、a_n<0

nが偶数すなわちn-1が奇数のとき、(-1/2)^n-1は負、-3・(-1/2)^n-1は正なので、a_n>0　となります

空欄(ア)〜(オ)

初項a₁=-3、公比r=a_n+1/a_n=-1/2(ただしa_n≠0)の等比数列なので
a_n=a₁(r)^n-1=(-3)(-1/2)^n-1

nが奇数のとき、n=2n'+1(n'=0, 1, 2, 3, ...)とすると、
a_n=(-3)(-1/2)^n-1=(-3)(-1/2)^2n'+1-1=(-3)(-1/2)^2n'=(-3)(1/4)^n'

となり、(1/4)^n'>0なので、a_n=(-3)(1/4)^n'<0となります。

nが偶数のとき、n=2n'(n'=1, 2, 3, ...)とすると、
a_n=(-3)(-1/2)^n-1=(-3)(-1/2)^2n'-1=(-3)(-1/2)^-1(-1/2)^2n'=6(1/4)^n'

となり、(1/4)^n'>0なので、a_n=6(1/4)^n'>0となります。

解答：カ：＜、キ：＞

解説：

（ア）～（オ）より、

a_n=-3(-1/2)^n-1です。

nが奇数のとき、

(-1/2)^n-1は正なので、a_nは負です。

nが偶数のとき、

(-1/2)^n-1は負なので、a_nは正です。