共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問76 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問8)

よって、Y^-の分布は、正規分布N(E(Y)、V(Y)/400)　に従います

(1)より

E（Y）=E（X）-c=20-25=-5

V（Y）=V（X）=11000なので

Y^-の分布は、正規分布　N(-5、11000/400)=N(-5、110/4)　に従います

このY^-を標準化した確率変数 Z={Y^--(-5)}/√(110/4) は標準正規分布N(0、1)　に従います

総得点 Y₁+Y₂+…+Y₄₀₀≧0 となるとき、標本平均Y^-も Y^-≧0 となります

Y^-≧0 のとき、Zの範囲を考えると

Y^-+5≧5

(Y^-+5)/√(110/4)≧5/√(110/4)

Z≧5/√(110/4)

ここで、√(110/4)=√110/2≒10.5/2=5.25

5/5.25≒0.95　なので

P(Y₁+Y₂+…+Y₄₀₀≧0)=P(Z≧0.95)=0.5-P(0≦Z≦0.95)

下線の部分は標準正規分布表から z=0.95 となる値を読み取って 0.3289なので

P(Y₁+Y₂+…+Y₄₀₀≧0)=0.5-0.3289=0.1711

選択肢で最も近い0.17が答えとなります。

空欄(ア)

X₂=800となるのは、"022"、"122"、"222"、...、"922"の10通りなので、
p₂=P(X=800)=10/1000=1/100

空欄(イ)〜(エ)

X₄=0はX₁=2000、X₂=800、X₃=100以外のパターンですので、
p₄=P(X=0)=1-p₁-p₂-p₃=1-1/1000-1/100-1/10=1-111/1000=889/1000

空欄(オ)、(カ)

確率変数Xの平均(期待値) E(X)は

E(X)=x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+x₄p₄=2000×1/1000+800×1/100+100×1/10+0×889/1000=20

空欄(キ)、(ク)

一回で得た得点を確率変数Xと置きました。
一回で使用した得点が25ですので、一回の損得点である確率変数Yは
Y=X-25

空欄(ケ)

確率に関係なく、全体的に得点cだけ一律に得点が下がるので、平均(期待値)も同様に得点cだけ下がります。
そのため、E(Y)=E(X)-c となります。

空欄(コ)

分散は数値データのばらつき具合を表すための指標ですので、
今回は確率に関係なく、全体的に得点cだけ一律に得点が下がるので、分散には影響を及ばしません。
そのため、V(Y)=V(X) となります。

空欄(サ)

空欄(サ)は、標本の大きさが400で、Yの標本平均(bar(Y)とします)の確率が正規分布Nに従うときの分散です。
母標準偏差σ=√V(Y)、標本の大きさn=400の分散は
σ2/n=(√V(Y))2/400=V(Y)/400

標本の大きさが400で、Yの標本平均bar(Y)の確率が正規分布Nに従うとき、正規分布Nは
N(E(Y), V(Y)/400)=N(E(X)-c, V(X)/400)
=N(20-25, 11000/400)
=N(-5, 110/4)
これを、μ'=-5、σ'²=110/4とし、確率変数ZをZ=(Y-μ)/σと置くことで、確率変数Zは標準正規分布N(0, 1)に従います。
さて、損得点 Y₁+Y₂+...+Y₄₀₀=0となるとき、bar(Y)=0となるので、確率変数Zは
Z=(Y-μ)/σ
=(0-(-5))/√(110/4)
=√(110)/11
≒10.5/11
≒0.95

以上より、損得点 Y₁+Y₂+...+Y₄₀₀が0以上となるときの確率P(Y₁+Y₂+...+Y₄₀₀≧0)は、
正規分布表のP(0≦Z≦0.95)=0.3289より、
P(Y₁+Y₂+...+Y₄₀₀≧0)=P(bar(Y)≧0)
=P(Z≧0.95)
=P(Z≧0)-P(0≦Z≦0.95)
=0.5-0.3289
=0.1711
 

解答：0.17

解説：

E（Y）=E（X）-25

=20-25

=-5

V（Y）/n=V（X）/n

=11000/400

=110/4

よって、標本平均は正規分布（-5,110/4）に従います。

ここで、確率変数Yの期待値をm、標準偏差をσとして、

これが正規分布N（m,σ²）に従うとき、Z=（Y-m）/σと変換すると、

Zは標準正規分布N（0,1）に従います。

このことから、

Z=（Y-（-5））/（（√110）/2）

となるので、

Y=0を代入すると、

（0-（-5））/（（√110）/2）

=5/（10.5/2）

=0.95

正規分布表より、P（0.95）=0.3289なので、

P（Y₁+Y₂+…+Y₄₀₀≧0）

=P（Z₁+Z₂+…+Z₄₀₀≧0.95）

=0.5-0.3289

=0.1711

したがって、最も近い選択肢は0.17です。