共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問57 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問（2）（iv）（ソ）)
問題文
Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2－7y＋（2x－5y＋25）＝0・・・・・①
の表す円をC1とする。また、方程式
x2＋y2－7y－（2x－5y＋25）＝0・・・・・②
の表す円をC2とする。
（2）不等式
x2＋y2－7y＋|2x－5y＋25|＜0・・・・・③
の表す領域について考える。
③の左辺は、2x－5y＋25≧0のときは①の左辺と一致し，
2x－5y＋25＜0のときは②の左辺と一致する。
（i）不等式2x－5y＋25≧0の表す領域をD、不等式2x－5y＋25＜0の表す領域をEとする。
・原点Oは（ コ ）に含まれる。
・C1の中心は（ サ ）に含まれる。
・C2の中心は（ シ ）に含まれる。
（ii）方程式
2x－5y＋25＝0・・・・・④
の表す直線をlとする。
実数x，yが①と②の両方を満たすとする。①と②の左辺どうし、右辺どうしの差をとると
2（2x－5y＋25）＝0
となる。よって、実数x，yは④も満たす。
したがって、（ ス ）。
このことから，lはC1とC2の二つの交点を通る直線であることがわかる。
（iii）不等式
x2＋y2－7y＋（2x－5y＋25）＜0
の表す領域と（i）の領域Dの共通部分をFとする。
また、不等式
x2＋y2－7y－（2x－5y＋25）＜0
の表す領域と（i）の領域Eの共通部分をGとする。
不等式③の表す領域は、FとGの和集合である。これを図示すると（ セ ）の灰色部分である。ただし、境界線を含まない。
（iv）③において、|2x－5y＋25|の前の符号を＋から－に変えた不等式
x2＋y2－7y－|2x－5y＋25|＜0・・・・・⑤
を考える。⑤の表す領域を図示すると（ ソ ）の灰色部分である。ただし、境界線を含まない。
（ ソ ）にあてはまるものを選べ。
x2＋y2－7y＋（2x－5y＋25）＝0・・・・・①
の表す円をC1とする。また、方程式
x2＋y2－7y－（2x－5y＋25）＝0・・・・・②
の表す円をC2とする。
（2）不等式
x2＋y2－7y＋|2x－5y＋25|＜0・・・・・③
の表す領域について考える。
③の左辺は、2x－5y＋25≧0のときは①の左辺と一致し，
2x－5y＋25＜0のときは②の左辺と一致する。
（i）不等式2x－5y＋25≧0の表す領域をD、不等式2x－5y＋25＜0の表す領域をEとする。
・原点Oは（ コ ）に含まれる。
・C1の中心は（ サ ）に含まれる。
・C2の中心は（ シ ）に含まれる。
（ii）方程式
2x－5y＋25＝0・・・・・④
の表す直線をlとする。
実数x，yが①と②の両方を満たすとする。①と②の左辺どうし、右辺どうしの差をとると
2（2x－5y＋25）＝0
となる。よって、実数x，yは④も満たす。
したがって、（ ス ）。
このことから，lはC1とC2の二つの交点を通る直線であることがわかる。
（iii）不等式
x2＋y2－7y＋（2x－5y＋25）＜0
の表す領域と（i）の領域Dの共通部分をFとする。
また、不等式
x2＋y2－7y－（2x－5y＋25）＜0
の表す領域と（i）の領域Eの共通部分をGとする。
不等式③の表す領域は、FとGの和集合である。これを図示すると（ セ ）の灰色部分である。ただし、境界線を含まない。
（iv）③において、|2x－5y＋25|の前の符号を＋から－に変えた不等式
x2＋y2－7y－|2x－5y＋25|＜0・・・・・⑤
を考える。⑤の表す領域を図示すると（ ソ ）の灰色部分である。ただし、境界線を含まない。
（ ソ ）にあてはまるものを選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）本試験 問57（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問（2）（iv）（ソ）） （訂正依頼・報告はこちら）
Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2－7y＋（2x－5y＋25）＝0・・・・・①
の表す円をC1とする。また、方程式
x2＋y2－7y－（2x－5y＋25）＝0・・・・・②
の表す円をC2とする。
（2）不等式
x2＋y2－7y＋|2x－5y＋25|＜0・・・・・③
の表す領域について考える。
③の左辺は、2x－5y＋25≧0のときは①の左辺と一致し，
2x－5y＋25＜0のときは②の左辺と一致する。
（i）不等式2x－5y＋25≧0の表す領域をD、不等式2x－5y＋25＜0の表す領域をEとする。
・原点Oは（ コ ）に含まれる。
・C1の中心は（ サ ）に含まれる。
・C2の中心は（ シ ）に含まれる。
（ii）方程式
2x－5y＋25＝0・・・・・④
の表す直線をlとする。
実数x，yが①と②の両方を満たすとする。①と②の左辺どうし、右辺どうしの差をとると
2（2x－5y＋25）＝0
となる。よって、実数x，yは④も満たす。
したがって、（ ス ）。
このことから，lはC1とC2の二つの交点を通る直線であることがわかる。
（iii）不等式
x2＋y2－7y＋（2x－5y＋25）＜0
の表す領域と（i）の領域Dの共通部分をFとする。
また、不等式
x2＋y2－7y－（2x－5y＋25）＜0
の表す領域と（i）の領域Eの共通部分をGとする。
不等式③の表す領域は、FとGの和集合である。これを図示すると（ セ ）の灰色部分である。ただし、境界線を含まない。
（iv）③において、|2x－5y＋25|の前の符号を＋から－に変えた不等式
x2＋y2－7y－|2x－5y＋25|＜0・・・・・⑤
を考える。⑤の表す領域を図示すると（ ソ ）の灰色部分である。ただし、境界線を含まない。
（ ソ ）にあてはまるものを選べ。
x2＋y2－7y＋（2x－5y＋25）＝0・・・・・①
の表す円をC1とする。また、方程式
x2＋y2－7y－（2x－5y＋25）＝0・・・・・②
の表す円をC2とする。
（2）不等式
x2＋y2－7y＋|2x－5y＋25|＜0・・・・・③
の表す領域について考える。
③の左辺は、2x－5y＋25≧0のときは①の左辺と一致し，
2x－5y＋25＜0のときは②の左辺と一致する。
（i）不等式2x－5y＋25≧0の表す領域をD、不等式2x－5y＋25＜0の表す領域をEとする。
・原点Oは（ コ ）に含まれる。
・C1の中心は（ サ ）に含まれる。
・C2の中心は（ シ ）に含まれる。
（ii）方程式
2x－5y＋25＝0・・・・・④
の表す直線をlとする。
実数x，yが①と②の両方を満たすとする。①と②の左辺どうし、右辺どうしの差をとると
2（2x－5y＋25）＝0
となる。よって、実数x，yは④も満たす。
したがって、（ ス ）。
このことから，lはC1とC2の二つの交点を通る直線であることがわかる。
（iii）不等式
x2＋y2－7y＋（2x－5y＋25）＜0
の表す領域と（i）の領域Dの共通部分をFとする。
また、不等式
x2＋y2－7y－（2x－5y＋25）＜0
の表す領域と（i）の領域Eの共通部分をGとする。
不等式③の表す領域は、FとGの和集合である。これを図示すると（ セ ）の灰色部分である。ただし、境界線を含まない。
（iv）③において、|2x－5y＋25|の前の符号を＋から－に変えた不等式
x2＋y2－7y－|2x－5y＋25|＜0・・・・・⑤
を考える。⑤の表す領域を図示すると（ ソ ）の灰色部分である。ただし、境界線を含まない。
（ ソ ）にあてはまるものを選べ。
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この過去問の解説 （2件）
01
(iii)では、不等式③において2x-5y+25≧0のとき、すなわち実数x,yに対して点(x,y)が領域Dに含まれているときに円C1の内側にも含まれていて、2x-5y+25<0のとき、すなわち点(x,y)が領域Eに含まれているときに円C2の内側にも含まれていました。
しかし、(iv)では|2x-5y+25|の前の符号が+から-に変わっているので、2x-5y+25≧0のとき、すなわち実数x,yが領域Dに含まれているときに現れる不等式は
x2+y2-7y-(2x-5y+25)<0
すなわちこの不等式の左辺は②の左辺と一致します。
したがって、点(x,y)が領域Dに含まれているとき、円C2の内側にも含まれていることになります。（つまり、各領域D,Eにおいて参照すべき円が入れ替わります。）
別の言い方をすると、「直線の下、かつ円C2の中」です。
同様に考えると、2x-5y+25<0のとき、すなわち実数x,yが領域Eに含まれているときに現れる不等式は
x2+y2-7y+(2x-5y+25)<0
すなわちこの不等式の左辺は①の左辺と一致します。
したがって、点(x,y)が領域Eに含まれているとき、円C1の内側にも含まれていることになります。別の言い方をすると、「直線の上、かつ円C1の中」です。
2つの領域の和集合を図示したものはこの図です。
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02
x2＋y2－7y－|2x－5y＋25|＜0 ⑤
について、絶対値の中身の正負で場合分けします。
(A)2x－5y＋25≧0のとき(領域Dにあるとき)
x2＋y2－7y－|2x－5y＋25|＜0
x2＋y2－7y－(2x－5y＋25)＜0
→ 円C2：x2＋y2－7y－（2x－5y＋25）＝0の内部
となります。
(B)2x－5y＋25＜0のとき(領域Eにあるとき)
x2＋y2－7y－|2x－5y＋25|＜0
x2＋y2－7y－(－(2x－5y＋25))＜0
x2＋y2－7y＋(2x－5y＋25)＜0
→ 円C1：x2＋y2－7y＋（2x－5y＋25）＝0の内部
となります。
(領域Dかつ、円C2の内部)＝領域H、(領域Eかつ、円C1の内部)＝領域Iでした。
領域Hは下図の黄色で塗った箇所、領域Iは水色で塗った箇所になります。
(A)・(B)の場合分けにともない、(領域H)または(領域I)を答えることになりますので、
示すべき領域は、図のようになります。
円C1の内部と円C2の内部の和集合を答えているみたいですね。
この図が正解です。
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