共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問119 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問（3）（ii）（セ）)

スでは、複素数zが、原点Oを中心、半径をrとする円C上を動いているとき、

　　z²＋1z²＝(r²＋1r²)cos2⁡θ＋i(r²－1r²)sin2⁡θ

と表されること、また、

　　z²＋1z²＝X＋Yi

としたときに、

　　X²(r²＋(1/r²))²＋Y²(r²－(1/r²))²＝1

を満たすことが分かっています。

そして、(ⅰ)のシでは、

　　w²＝z²＋1z²＋2

であることが分かっています。

z²＋1z²は、座標平面上では、

　　楕円：x²(r²＋(1/r²))²＋y²(r²－(1/r²))²＝1

を描きます。

w²＝z²＋1z²＋2は、z²＋1z²に実数2を加えている式ですので、

　　・w²は、複素数平面上でz²＋1z²で表される楕円に対して、

　　  実軸正方向に2だけ平行移動させている

と考えられます。座標平面に言い換えますと、

　　・楕円：x²(r²＋(1/r²))²＋y²(r²－(1/r²))²＝1に対して、

　　  x軸正方向に2だけ平行移動させている

ことになります。

w²＝z²＋1z²＋2の描く楕円は、上の青線のようになります。

※

ご覧になっている人にとっては、何となく楕円を描いているように見えると思いますが、

この楕円を答えるためには、3点ほど注意点がございます。

①楕円の中心(楕円の横軸と楕円の縦軸の交点)は、2である

z²＋1z²は、座標平面上では、

　　楕円：x²(r²＋(1/r²))²＋y²(r²－(1/r²))²＝1

で表示されています。このとき、座標平面上では、楕円の中心は(0,0)です。

この楕円を、x軸正方向に2だけ平行移動させるため、

楕円の中心もx軸方向に2だけ平行移動します。

つまり、座標平面上では、平行移動後の楕円の中心は(2,0)となり、

複素数平面に置き換えると、2となります。

②楕円の半横軸の長さ：r²＋1r²と、半縦軸の長さ：｜r²－1r²｜を比較すると、

　楕円の半横軸の方が長い

そもそも、

　　・r²＋1r²は、r＞0,r≠1では、必ず正の値をとる(r²＞0なので)

　　・一方で、r²－1r²は、r＞0,r≠1では、rによって、正の値・負の値どちらもとる

　　  (のちの場合分けも参照してください、r＞1では正の値、0＜r＜1では負の値をとります)

ことに注意してください。

このため、半長軸の長さr²＋1r²には絶対値記号はつけなくても問題ありませんが、

半短軸の長さ｜r²－1r²｜には絶対値記号をつけないといけません。

　(A)r＞1のとき

　　　r²＞1　　0＜1r²＜1

　であるので、

　　　r²－1r²＞0

　となります。従って、

　　　｜r²－1r²｜＝r²－1r²

　です。

　1r²＞0より、

　　　r²－1r²＜r²＋1r²

　となるので、

　　　｜r²－1r²｜＜r²＋1r²

　が成り立ちます。

(この解説の続きは、選択肢の解説にありますので、そちらもご覧ください)