共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問118 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問8)

zを0でない複素数とし、w＝z＋（1／z）とする。また、rを正の実数とし、複素数平面上で、原点Oを中心とする半径rの円をCとする。

（1）z＝√3＋iのとき、|z|＝（　ア　）であり

w＝（｛　イ　｝√｛　ウ　｝／｛　エ　｝）＋（｛　オ　｝／｛　カ　｝）i

である。

（2）zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いてz＝r（cosθ＋isinθ）と表す。

（i）w＝z＋（1／z）をr，θを用いて表すと

w＝（　キ　）＋i（　ク　）・・・・・①

である。したがって、θの値によらず（　ク　）＝0となるようなr値は（　ケ　）である。

（ii）r＝（　ケ　）とする。zがC上を動くとき、wが描く図形は（　コ　）である。

（iii）r≠（　ケ　）とする。x，yを実数としてw＝x＋yiとおくと、①から

x＝（　キ　），y＝（　ク　）・・・・・②

が成り立つ。②の二つの式からθを消去すると、x，yは（　サ　）を満たし、

zがC上を動くとき、w＝x＋yiは（　サ　）の表す図形を描く。

（3）r≠（　ケ　）とする。zがC上を動くとき、w²が描く図形を考えよう。

（i）w²をzを用いて表すと、w²＝（　シ　）である。

（ii）zがC上を動くとき、z²＋1／z²が描く図形の方程式を考える。このとき、z²は原点Oを中心とする半径r²の円を描く。このことから、X，Yを実数とし
てz²＋1／z²＝X＋Yiとおくと、X，Yは（　ス　）を満たす。以上を踏まえるとw²が描く図形はであることがわかる。

（　ス　）にあてはまるものを選べ。