共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問118 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問（3）（ii）（ス）)

複素数平面において、原点Oを中心、半径をrとする円C上を、

複素数zが動いています。

このため、(2)と同じように、

　　z＝r(cos⁡θ＋isin⁡θ)　　　(但し、r＞0)

とすることができます。

このとき、z²＋1z²へ代入して計算すると、

　　z²＋1z²＝(r(cos⁡θ＋isin⁡θ))²＋1(r(cosθ＋isinθ))²
　　　　　   ＝r²(cos⁡2θ＋isin⁡2θ)＋1r²(cos2θ＋isin2θ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ド・モアブルの定理より)
　　　　　   ＝r²(cos⁡2θ＋isin⁡2θ)＋cos2θ－isin2θr²(cos2θ＋isin2θ)(cos2θ－isin2θ)

　　　　　   ＝r²(cos⁡2θ＋isin⁡2θ)＋cos2θ－isin2θr²(cos2θ＋isin2θ)(cos2θ－isin2θ)

　　　　　   ＝r²(cos2⁡θ＋isin2⁡θ)＋cos2θ－isin2θr²(cos²2θ－i²sin²2θ)

　　　　　   ＝r²(cos2⁡θ＋isin2⁡θ)＋cos2θ－isin2θr²(cos²2θ＋sin²2θ)

　　　　　   ＝r²(cos2⁡θ＋isin2⁡θ)＋cos2θ－isin2θr²

　　　　　   ＝(r²＋1r²)cos2⁡θ＋i(r²－1r²)sin2⁡θ

となります。

ここからは、問題文の誘導に従いつつも、

(2)(ⅲ)と同じように攻略していきます。

z²＋1z²＝X＋Yiとすると、実部と虚部を比較すれば、

　　X＝(r²＋1r²)cos2⁡θ　　Y＝(r²－1r²)sin2⁡θ

となります。
r＞0,r≠1のとき(ケに当てはまる数字は1です)、
　　r²＋1r²＞0　　r²－1r²≠0
であるので、

　　cos⁡2θ＝Xr²＋(1/r²)　　sin⁡2θ＝Yr²－(1/r²)
となります。

sin²2θ＋cos²2θ＝1に代入して、θを消去すると、
　　(Yr²－(1/r²))²＋(Xr²＋(1/r²))²＝1
　　X²(r²＋(1/r²))²＋Y²(r²－(1/r²))²＝1
となります。