共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問9 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問9)

〔2〕辺の長さがすべて自然数である△ABCについて考えよう。以下では、∠BAC＝A、∠ABC＝B、∠ACB＝Cとする。

（1）AB＝9、BC＝5とする。また、nは5≦n≦13を満たす自然数とし、AC＝nとする。

（i）n＝6のとき、余弦定理によりcosB＝（　サ　）／（　シ　）であることがわかる。このことから、

sinB＝（（　ス　）√（　セ　））／（　ソ　）

であるので、△ABCの面積は（　タチ　）√（　ツ　）であることがわかる。

（ii）花子さんと太郎さんは、nの値によって三角形がどのように変化するかについて話している。

花子：nを5から13まで1ずつ増やしていく様子を図にかいてみると、Bは大きくなりCは小さくなるね。
太郎：そうだね。どのnで三角形の面積が最大になるかな。
花子：Bに注目して考えてみよう。
太郎：3辺の長さを考えるから、sinBよりcosBの方が計算しやすそうだね。cosBと面積の関係を考えてみよう。

△ABCの面積が最大になるのは、sinBの値が最も（　テ　）ときであり、｜cosB｜の値が最も（　ト　）ときである。ここで、5≦n≦13であることに注意すると、cosBの値が負であるのは、n＝（　ナ　）のときのみであることがわかる。
以上のことから、△ABCの面積が最大となるのは、n＝（　ニ　）のときのみである。

（　ナ　）にあてはまるものを1つ選べ。