共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問10 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問〔2〕（1）（ii）（ニ）)
問題文
〔2〕辺の長さがすべて自然数である△ABCについて考えよう。以下では、∠BAC＝A、∠ABC＝B、∠ACB＝Cとする。
（1）AB＝9、BC＝5とする。また、nは5≦n≦13を満たす自然数とし、AC＝nとする。
（i）n＝6のとき、余弦定理によりcosB＝（ サ ）／（ シ ）であることがわかる。このことから、
sinB＝（（ ス ）√（ セ ））／（ ソ ）
であるので、△ABCの面積は（ タチ ）√（ ツ ）であることがわかる。
（ii）花子さんと太郎さんは、nの値によって三角形がどのように変化するかについて話している。
花子：nを5から13まで1ずつ増やしていく様子を図にかいてみると、Bは大きくなりCは小さくなるね。
太郎：そうだね。どのnで三角形の面積が最大になるかな。
花子：Bに注目して考えてみよう。
太郎：3辺の長さを考えるから、sinBよりcosBの方が計算しやすそうだね。cosBと面積の関係を考えてみよう。
△ABCの面積が最大になるのは、sinBの値が最も（ テ ）ときであり、｜cosB｜の値が最も（ ト ）ときである。ここで、5≦n≦13であることに注意すると、cosBの値が負であるのは、n＝（ ナ ）のときのみであることがわかる。
以上のことから、△ABCの面積が最大となるのは、n＝（ ニ ）のときのみである。
（ ニ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）AB＝9、BC＝5とする。また、nは5≦n≦13を満たす自然数とし、AC＝nとする。
（i）n＝6のとき、余弦定理によりcosB＝（ サ ）／（ シ ）であることがわかる。このことから、
sinB＝（（ ス ）√（ セ ））／（ ソ ）
であるので、△ABCの面積は（ タチ ）√（ ツ ）であることがわかる。
（ii）花子さんと太郎さんは、nの値によって三角形がどのように変化するかについて話している。
花子：nを5から13まで1ずつ増やしていく様子を図にかいてみると、Bは大きくなりCは小さくなるね。
太郎：そうだね。どのnで三角形の面積が最大になるかな。
花子：Bに注目して考えてみよう。
太郎：3辺の長さを考えるから、sinBよりcosBの方が計算しやすそうだね。cosBと面積の関係を考えてみよう。
△ABCの面積が最大になるのは、sinBの値が最も（ テ ）ときであり、｜cosB｜の値が最も（ ト ）ときである。ここで、5≦n≦13であることに注意すると、cosBの値が負であるのは、n＝（ ナ ）のときのみであることがわかる。
以上のことから、△ABCの面積が最大となるのは、n＝（ ニ ）のときのみである。
（ ニ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）追・再試験 問10（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問〔2〕（1）（ii）（ニ）） （訂正依頼・報告はこちら） （新しいタブで開く）
〔2〕辺の長さがすべて自然数である△ABCについて考えよう。以下では、∠BAC＝A、∠ABC＝B、∠ACB＝Cとする。
（1）AB＝9、BC＝5とする。また、nは5≦n≦13を満たす自然数とし、AC＝nとする。
（i）n＝6のとき、余弦定理によりcosB＝（ サ ）／（ シ ）であることがわかる。このことから、
sinB＝（（ ス ）√（ セ ））／（ ソ ）
であるので、△ABCの面積は（ タチ ）√（ ツ ）であることがわかる。
（ii）花子さんと太郎さんは、nの値によって三角形がどのように変化するかについて話している。
花子：nを5から13まで1ずつ増やしていく様子を図にかいてみると、Bは大きくなりCは小さくなるね。
太郎：そうだね。どのnで三角形の面積が最大になるかな。
花子：Bに注目して考えてみよう。
太郎：3辺の長さを考えるから、sinBよりcosBの方が計算しやすそうだね。cosBと面積の関係を考えてみよう。
△ABCの面積が最大になるのは、sinBの値が最も（ テ ）ときであり、｜cosB｜の値が最も（ ト ）ときである。ここで、5≦n≦13であることに注意すると、cosBの値が負であるのは、n＝（ ナ ）のときのみであることがわかる。
以上のことから、△ABCの面積が最大となるのは、n＝（ ニ ）のときのみである。
（ ニ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）AB＝9、BC＝5とする。また、nは5≦n≦13を満たす自然数とし、AC＝nとする。
（i）n＝6のとき、余弦定理によりcosB＝（ サ ）／（ シ ）であることがわかる。このことから、
sinB＝（（ ス ）√（ セ ））／（ ソ ）
であるので、△ABCの面積は（ タチ ）√（ ツ ）であることがわかる。
（ii）花子さんと太郎さんは、nの値によって三角形がどのように変化するかについて話している。
花子：nを5から13まで1ずつ増やしていく様子を図にかいてみると、Bは大きくなりCは小さくなるね。
太郎：そうだね。どのnで三角形の面積が最大になるかな。
花子：Bに注目して考えてみよう。
太郎：3辺の長さを考えるから、sinBよりcosBの方が計算しやすそうだね。cosBと面積の関係を考えてみよう。
△ABCの面積が最大になるのは、sinBの値が最も（ テ ）ときであり、｜cosB｜の値が最も（ ト ）ときである。ここで、5≦n≦13であることに注意すると、cosBの値が負であるのは、n＝（ ナ ）のときのみであることがわかる。
以上のことから、△ABCの面積が最大となるのは、n＝（ ニ ）のときのみである。
（ ニ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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- 5
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この過去問の解説 （1件）
01
トより、△ABCの面積が最も大きくなるのは、
｜cosB｜が最も小さくなるときであることが分かっています。
この｜cosB｜が最も小さくなる自然数nを求めるのが、
この問題のミッションです。
なお、ナを解いていく中で、余弦定理から、
cosB＝106－n290
と求めることができます。
このとき、5≦n≦13である自然数nに対して、
n＝11,12,13のとき、cosB＜0
であることが分かっています。
従って、
n＝5,6,7,8,9,10のとき、cosB＞0
であることが予測できます。
cosB＝106－n290より、
｜cosB｜＝｜106－n290｜
です。このとき、
・n＝5,6,7,8,9,10のとき、cosB＞0なので、
｜cosB｜＝｜106－n290｜
＝106－n290
・n＝11,12,13のとき、cosB＜0なので、
｜cosB｜＝｜106－n290｜
＝－(106－n290)
＝n2－10690
と場合分けされます。
よって、
・n＝5,6,7,8,9,10のとき、｜cosB｜＝106－n290は単調減少
・n＝11,12,13のとき、｜cosB｜＝n2－10690は単調増加
となることが分かります。
n＝10のとき、または、n＝11のときに最小値をとることが予測できます。
実際に、n＝10、n＝11を当てはめて、｜cosB｜を計算すると、
・n＝10のとき ｜cosB｜＝106－10290＝115
・n＝11のとき ｜cosB｜＝112－10690＝16
となります。
よって、n＝10のときに、｜cosB｜は最小値をとることになります。
△ABCの面積が最も大きくなるのは、n＝10のときとなります。
※
絶対値の外し方は、覚えていますでしょうか？
・a≧0のとき |a|＝a
・a＜0のとき |a|＝－a
でした。絶対値の中身が正なのか、負なのかで、計算の仕方が異なります。
絶対値の中身が正なのか、負なのか判断ができない場合は、
正の場合、負の場合と場合分けして考えていきます。
n＝10が正解です。
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