共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問11 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問〔2〕（1）（iii）)
問題文
〔2〕辺の長さがすべて自然数である△ABCについて考えよう。以下では、∠BAC＝A、∠ABC＝B、∠ACB＝Cとする。
（1）AB＝9、BC＝5とする。また、nは5≦n≦13を満たす自然数とし、AC＝nとする。
（i）n＝6のとき、余弦定理によりcosB＝（ サ ）／（ シ ）であることがわかる。このことから、
sinB＝（（ ス ）√（ セ ））／（ ソ ）
であるので、△ABCの面積は（ タチ ）√（ ツ ）であることがわかる。
（ii）花子さんと太郎さんは、nの値によって三角形がどのように変化するかについて話している。
花子：nを5から13まで1ずつ増やしていく様子を図にかいてみると、Bは大きくなりCは小さくなるね。
太郎：そうだね。どのnで三角形の面積が最大になるかな。
花子：Bに注目して考えてみよう。
太郎：3辺の長さを考えるから、sinBよりcosBの方が計算しやすそうだね。cosBと面積の関係を考えてみよう。
△ABCの面積が最大になるのは、sinBの値が最も（ テ ）ときであり、｜cosB｜の値が最も（ ト ）ときである。ここで、5≦n≦13であることに注意すると、cosBの値が負であるのは、n＝（ ナ ）のときのみであることがわかる。
以上のことから、△ABCの面積が最大となるのは、n＝（ ニ ）のときのみである。
（iii）太郎さんと花子さんは、△ABCの外接円について話している。
太郎：外接円の半径が最も小さくなるときのnも求められそうだね。
花子：今度は、Cに注目して考えてみよう。
△ABCの外接円の半径をRとする。5≦n≦13において、Rの値が最も小さくなるときのnについて考えよう。
（ii）のように、sinCや｜cosC｜の値が最も大きいときや、最も小さいときを考える。これにより、Rの値が最も小さくなるのは、n＝（ ヌ ）のときのみである。
（ ヌ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）AB＝9、BC＝5とする。また、nは5≦n≦13を満たす自然数とし、AC＝nとする。
（i）n＝6のとき、余弦定理によりcosB＝（ サ ）／（ シ ）であることがわかる。このことから、
sinB＝（（ ス ）√（ セ ））／（ ソ ）
であるので、△ABCの面積は（ タチ ）√（ ツ ）であることがわかる。
（ii）花子さんと太郎さんは、nの値によって三角形がどのように変化するかについて話している。
花子：nを5から13まで1ずつ増やしていく様子を図にかいてみると、Bは大きくなりCは小さくなるね。
太郎：そうだね。どのnで三角形の面積が最大になるかな。
花子：Bに注目して考えてみよう。
太郎：3辺の長さを考えるから、sinBよりcosBの方が計算しやすそうだね。cosBと面積の関係を考えてみよう。
△ABCの面積が最大になるのは、sinBの値が最も（ テ ）ときであり、｜cosB｜の値が最も（ ト ）ときである。ここで、5≦n≦13であることに注意すると、cosBの値が負であるのは、n＝（ ナ ）のときのみであることがわかる。
以上のことから、△ABCの面積が最大となるのは、n＝（ ニ ）のときのみである。
（iii）太郎さんと花子さんは、△ABCの外接円について話している。
太郎：外接円の半径が最も小さくなるときのnも求められそうだね。
花子：今度は、Cに注目して考えてみよう。
△ABCの外接円の半径をRとする。5≦n≦13において、Rの値が最も小さくなるときのnについて考えよう。
（ii）のように、sinCや｜cosC｜の値が最も大きいときや、最も小さいときを考える。これにより、Rの値が最も小さくなるのは、n＝（ ヌ ）のときのみである。
（ ヌ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）追・再試験 問11（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問〔2〕（1）（iii）） （訂正依頼・報告はこちら） （新しいタブで開く）
〔2〕辺の長さがすべて自然数である△ABCについて考えよう。以下では、∠BAC＝A、∠ABC＝B、∠ACB＝Cとする。
（1）AB＝9、BC＝5とする。また、nは5≦n≦13を満たす自然数とし、AC＝nとする。
（i）n＝6のとき、余弦定理によりcosB＝（ サ ）／（ シ ）であることがわかる。このことから、
sinB＝（（ ス ）√（ セ ））／（ ソ ）
であるので、△ABCの面積は（ タチ ）√（ ツ ）であることがわかる。
（ii）花子さんと太郎さんは、nの値によって三角形がどのように変化するかについて話している。
花子：nを5から13まで1ずつ増やしていく様子を図にかいてみると、Bは大きくなりCは小さくなるね。
太郎：そうだね。どのnで三角形の面積が最大になるかな。
花子：Bに注目して考えてみよう。
太郎：3辺の長さを考えるから、sinBよりcosBの方が計算しやすそうだね。cosBと面積の関係を考えてみよう。
△ABCの面積が最大になるのは、sinBの値が最も（ テ ）ときであり、｜cosB｜の値が最も（ ト ）ときである。ここで、5≦n≦13であることに注意すると、cosBの値が負であるのは、n＝（ ナ ）のときのみであることがわかる。
以上のことから、△ABCの面積が最大となるのは、n＝（ ニ ）のときのみである。
（iii）太郎さんと花子さんは、△ABCの外接円について話している。
太郎：外接円の半径が最も小さくなるときのnも求められそうだね。
花子：今度は、Cに注目して考えてみよう。
△ABCの外接円の半径をRとする。5≦n≦13において、Rの値が最も小さくなるときのnについて考えよう。
（ii）のように、sinCや｜cosC｜の値が最も大きいときや、最も小さいときを考える。これにより、Rの値が最も小さくなるのは、n＝（ ヌ ）のときのみである。
（ ヌ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）AB＝9、BC＝5とする。また、nは5≦n≦13を満たす自然数とし、AC＝nとする。
（i）n＝6のとき、余弦定理によりcosB＝（ サ ）／（ シ ）であることがわかる。このことから、
sinB＝（（ ス ）√（ セ ））／（ ソ ）
であるので、△ABCの面積は（ タチ ）√（ ツ ）であることがわかる。
（ii）花子さんと太郎さんは、nの値によって三角形がどのように変化するかについて話している。
花子：nを5から13まで1ずつ増やしていく様子を図にかいてみると、Bは大きくなりCは小さくなるね。
太郎：そうだね。どのnで三角形の面積が最大になるかな。
花子：Bに注目して考えてみよう。
太郎：3辺の長さを考えるから、sinBよりcosBの方が計算しやすそうだね。cosBと面積の関係を考えてみよう。
△ABCの面積が最大になるのは、sinBの値が最も（ テ ）ときであり、｜cosB｜の値が最も（ ト ）ときである。ここで、5≦n≦13であることに注意すると、cosBの値が負であるのは、n＝（ ナ ）のときのみであることがわかる。
以上のことから、△ABCの面積が最大となるのは、n＝（ ニ ）のときのみである。
（iii）太郎さんと花子さんは、△ABCの外接円について話している。
太郎：外接円の半径が最も小さくなるときのnも求められそうだね。
花子：今度は、Cに注目して考えてみよう。
△ABCの外接円の半径をRとする。5≦n≦13において、Rの値が最も小さくなるときのnについて考えよう。
（ii）のように、sinCや｜cosC｜の値が最も大きいときや、最も小さいときを考える。これにより、Rの値が最も小さくなるのは、n＝（ ヌ ）のときのみである。
（ ヌ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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この過去問の解説 （1件）
01
∠Cに関して、正弦定理より、
2R＝ABsinC
2R＝9sinC
R＝92sinC
となります。
この式から、
・外接円の半径Rが最も小さくなるのは、 sinCの値が最も大きくなるときである (※)
ことが分かります。
sin2C＋cos2C＝1
より、
｜cosC｜＝1－sin2C
です(テ・トを解く途中で同じ手続きを踏んでいるため、そちらも参考にしてみましょう)。
この式から、
・sinCの値が最も大きくなるとき、｜cosC｜＝1－sin2Cは最も小さくなる
ことが分かります。
(※)とつなげれば、
・外接円の半径Rが最も小さくなるのは、｜cosC｜が最も小さくなるときである
ことになります。
∠Cについて、余弦定理より、
AB2＝AC2＋BC2－2AC・BC・cosC
92＝n2＋52－2・n・5・cosC
81＝n2＋25－10n・cosC
cosC＝n2－5610n
となります。
従って、
｜cosC｜＝｜n2－5610n｜
となります。
ところで、絶対値の中身であるn2－5610nは、多項式ではありません。
このため、5≦n≦13である自然数nの中で、｜cosC｜の最小値をとるようなnを調べるには、
自然数nを｜cosC｜の式に1つ1つ代入して、計算して比較するしか方法はありません
(本当は、「数学Ⅲの微分を使って調べる」という方法があるとは思いますが、
文系の皆さんは「習っていないから無理！」という反応を示すでしょうし、
理系の皆さんも「計算時間が不足しそうで、あまりやる気が出ない…」という反応を示すと思います)。
5≦n≦13である自然数nを、｜cosC｜＝｜n2－5610n｜へ代入すると、
・n＝5のとき ｜cosC｜＝3150 ・n＝6のとき ｜cosC｜＝13
・n＝7のとき ｜cosC｜＝110 ・n＝8のとき ｜cosC｜＝110
・n＝9のとき ｜cosC｜＝518 ・n＝10のとき ｜cosC｜＝1125
・n＝11のとき ｜cosC｜＝1322 ・n＝12のとき ｜cosC｜＝1115
・n＝13のとき ｜cosC｜＝113130
となります(各自で確認してみてください)。
以上から、n＝7,8のときに、｜cosC｜は最小値をとることが分かります。
外接円の半径Rが最も小さくなるのは、n＝7,8のときとなります。
n＝7,8が正解です。
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