共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問12 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問〔2〕（2）)

△ABCの外接円の半径をRとしましょう。

△ABCについて、正弦定理から、
　　2R＝BCsinA
が成り立ちます。

また、△ABCと△A'BCの外接円の半径は等しいので、△A'BCの外接円の半径もRとなります。

△A'BCについて、正弦定理から、　
　　2R＝BCsinA'
が成り立ちます。

このとき、
　　BCsinA＝BCsinA'
となります。

BC＞0ですので、
　　sin⁡A＝sin⁡A'
となります。

ここで、｜cosA｜＝1－sin²A,｜cosA'｜＝1－sin²A'であるので

((2)(ⅱ)テ・ト、(ⅲ)ヌの攻略で、このあたりの式を利用しているため、

 「この第1問[2]のメインテーマかな？」と予測できると良いですね)、
　　｜cosA'｜＝1－sin²A'
　　　　　　  ＝1－sin²A  　(sin⁡A＝sin⁡A'より)
　　　　　　  ＝｜cosA｜
となります。従って、
　　｜cosA｜＝｜cosA'｜

となります。

ここで、△ABCについて、∠Aで余弦定理を用いると、
　　　　　　BC²＝AB²＋AC²－2AB・AC・cos⁡A
 　2AB・AC・cos⁡A＝AB²＋AC²－BC²
　　　　　  cos⁡A＝AB²＋AC²－BC²2AB・AC　　　(※)
　　　　　  cos⁡A＝c²＋4²－a²2・c・4
　　　　　  cos⁡A＝c²－a²＋168c
となります。

同様に、△A'BCについて、∠A'で余弦定理を用いると、
　　cos⁡A'＝A'B²＋A'C²－BC²2A'B・A'C　　　((※)を真似ると良いでしょう)
　　cos⁡A'＝c²＋5²－a²2・c・5
　　cos⁡A'＝c²－a²＋2510c
となります。

　　｜cosA｜＝｜cosA'｜

に、cos⁡A＝c²－a²＋168c,cos⁡A'＝c²－a²＋2510cを代入すると、

　　｜c²－a²＋168c｜＝｜c²－a²＋2510c｜　　①
となります。
a≦cであることから、
　　c²－a²≧0
となります。よって、
　　c²－a²＋16≧16＞0  　c²－a²＋25≧25＞0
となります。cは自然数なので、
　　8c＞0  　10c＞0
です。よって、
　　c²－a²＋168c＞0　　(①の左辺の絶対値の中身は正)

　　c²－a²＋2510c＞0　　(①の右辺の絶対値の中身は正)
となり、①は、

　　c²－a²＋168c＝c²－a²＋2510c
となります。
両辺を40c倍すると、
　　40c×c²－a²＋168c＝40c×c²－a²＋2510c

　　　　5(c²－a²＋16)＝4(c²－a²＋25)
　　　　 5c²－5a²＋80＝4c²－4a²＋100
　　　　　　　  c²－a²＝20
　　　　   (c＋a)(c－a)＝20    　②
となります。

a,cは自然数であり、a≦cであることから、
　　・c＋a≧1＋1　　⇔　　c＋a≧2
　　・c－a≧0
　　・c＋a≧c－a
を全て満たします。c＋a,c－aは整数であるので、②を満たすものは、
　　(A)c＋a＝20　かつ　c－a＝1
　　(B)c＋a＝10　かつ　c－a＝2
　　(C)c＋a＝5　  かつ　c－a＝4
の3パターンが考えられます。

それぞれ、(a,c)を解くと、
　　(A)(a,c)＝(192,212)　　(B)(a,c)＝(4,6)　　(C)(a,c)＝(12,92)
となります。

a,cは自然数であるので、
　　(a,c)＝(4,6)
に限られます。