共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問32 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（4）)

まず、(b)∠PAQが直角であるときから考えていきましょう。

∠PAQが直角であるとき、線分PQは、円Oの直径となります。

従って、辺PQの中点は、円Oの中心Oとなり、

△APQの重心Gは、線分AOを2：1に内分する点となります。

ここで、∠P' AQ' が直角となるように、円O上にP',Q'をとりましょう。

このとき、線分P'Q'も、円Oの直径となるので、

線分P'Q'の中点も、円Oの中心Oとなります。

このとき、△AP'Q'の重心G'も、線分AOを2：1に内分する点となります。

△APQの重心Gと、△AP'Q' の重心G'は、ともに線分AOを2：1に内分する点となります。

従って、∠PAQが直角であるとき、

　　・∠P' AQ' が直角となるように、円O上にP',Q'をとれば、

　　  △APQの重心Gと、△AP'Q' の重心G'は一致する

ことになり、

　　・「△APQの重心Gと、△AP'Q' の重心G'が一致することがある」は真である

と言えます((b)：真)。

続けて、(a)∠PAQが鋭角であるとき、(c)∠PAQが鈍角であるときを考えてみましょう。

∠PAQが鋭角または鈍角であるときは、線分PQは円Oの直径にはなりません。

このため、線分PQの中点はOと一致しません。

線分PQの中点をMとすると、

(2)より、点Mを中点とする円Oの弦は、ただ1つ、線分PQしか存在しません。

このことから、線分P'Q'の中点をM'とすれば、

　　・M≠M'

となります。

△APQの重心Gは、線分AMを2：1に内分する点、

△AP'Q'の重心G'は、線分AM'を2：1に内分する点であり、

M≠M'であることから、

　　・G≠G'

となります。

従って、∠PAQが鋭角または鈍角であるとき、

　　・△APQの重心Gと△AP'Q'の重心G'が一致することはありえない

ことになり、

　　・「△APQの重心Gと、△AP'Q' の重心G'が一致することがある」は偽である
と言えます((a)：偽、(c)：偽)。