共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問31 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問6)

三角形の重心や外心について考察しよう。以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。

（3）点Oを中心とする半径6の円Oがある。図1のように、円Oの周上に∠AOB＝60°となるように2点A、Bをとる。線分ABの垂直二等分線と円Oの交点のうち、直線ABに関して点Oと同じ側にある点をCとする。また、線分ABの中点をDとし、△ABCの重心をGとする。
円Oに内接する三角形の外心は、つねに△ABCの外心と一致する。ここでは、円Oに内接し、重心も△ABCの重心と一致する三角形が、△ABC以外にいくつあるかについて考察しよう。

（i）CG：GD＝（　キ　）：（　ク　）より

CG＝（　ケ　）＋（　コ　）√（　サ　）

となる。

（ii）点Pを円Oの周上の点でA、B、Cとは異なる点とする。このとき、次の条件を満たす三角形について考えよう。

【条件】
点Pを一つの頂点とし、円Oに内接し、重心がGと一致する。

点Mを直線PG上の点で、PG：GM＝（　キ　）：（　ク　）を満たし、点Gに関して点Pの反対側にある点とする。このとき、PG＜CGであることに注意すると、点Mは円Oの内部にあることがわかる。
点Mに着目して、（2）を振り返ると、条件を満たす三角形についての記述として、次の選択肢のうち、正しいものは（　シ　）であることがわかる。

（　シ　）にあてはまるものを1つ選べ。