共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問48 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8)

（2）（2－i）²＋2i（2－i）を計算すると（　オ　）であるから、z＝2－iは

z²＋2iz－（　オ　）＝0　・・・・・②

を満たしている。

太郎さんと花子さんは、②について話している。

太郎：②を係数が複素数である次方程式と考えると、虚数z＝2－iは解になるけど、2－iと共役な複素数は解にならないね。
花子：②を満たすzは2－iの他にもあるのかな。

②を変形すると

（z＋i）²＝（　カ　）　・・・・・③

となる。したがって、z＝2－iの他に

z＝（　キク　）－i

も②を満たすことがわかる。

（3）太郎さんと花子さんは

z²－（2＋4i）z－9＋12i＝0　・・・・・④

を満たす複素数zを求めようとしている。
④を変形すると

（z－（　ケ　）－（　コ　）i）²＝（　サ　）－（　シ　）i　・・・・・⑤

と表せる。w＝z－（　ケ　）－（　コ　）iとおくと、⑤は

w²＝（　サ　）－（　シ　）i　・・・・・⑥

となる。

太郎：③の右辺は実数だったけど、⑤の右辺は虚数だね。
花子：そうだね。wが実数だと、w²も実数になって⑥が成り立たないね。wが虚数の場合はどうかな。

wを虚数とすると、実数a、bを用いてw＝a＋biとおける。ただし、b≠0である。このとき、w²はa、bを用いて

w²＝（　ス　）＋（　セ　）i　・・・・・⑦

と表せる。

⑥と⑦により

（　ス　）＋（　セ　）i＝（　サ　）－（　シ　）i

が成り立つから、実数a、bについての連立方程式が得られる。bを求めると

b＝±√（　ソ　）

である。さらに、aを求めることで

w＝±（（　タ　）√（　チ　）－√（　ソ　）i）

が得られる。
したがって、z＝w＋（　ケ　）＋（　コ　）iであるから

z＝（　ケ　）＋（　タ　）√（　チ　）＋（（　コ　）－√（　ソ　））i
と
z＝（　ケ　）－（　タ　）√（　チ　）＋（（　コ　）＋√（　ソ　））i

は④を満たすことがわかる。

（　タ　）、（　チ　）にあてはまるものを1つ選べ。