共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問69 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問3)

（1）数列｛a_n｝を次の式で定める。

a₁＝1、a₂＝2
a_n＋2＝3a_n＋1－a_n（n＝1, 2, 3, …）　・・・・・①

初項a₁、第2項a₂および漸化式①により、第3項a₃が求められる。また、a₂、a₃および漸化式①により、第4項a₄が求められる。同様に、a₅、a₆、…を順に求めることができる。

（i）a₃＝（　ア　）、a₄＝（　イウ　）である。

（ii）太郎さんは、隣接する三つの項a_n、a_n＋1、a_n＋2について、a_na_n＋2の値と（a_n＋1）²の値がほぼ等しいのではないかと考えた。そこで、その差a_na_n＋2－（a_n＋1）²に着目して、すべての自然数nについて

a_na_n＋2－（a_n＋1）²＝1　・・・・・②

が成り立つのではないかと推測した。
すべての自然数nについて②が成り立つことを、太郎さんは、数学的帰納法を用いて次のように証明した。

＜証明＞
［Ⅰ］n＝1のとき、a₁＝1、a₂＝2、a₃＝（　ア　）であるから、
a₁a₃－（a₂）²＝1が成り立つ。よって、n＝1のとき、②が成り立つ。

［Ⅱ］n＝kのとき②が成り立つと仮定する。
n＝k＋1のとき、漸化式①により

a_k＋1a_k＋3－（a_k＋2）²
＝a_k＋1（3a_k＋2－a_k＋1）－（a_k＋2）²
＝（3a_k＋1－a_k＋2）a_k＋2－（a_k＋1）²
＝a_ka_k＋2－（a_k＋1）²
＝1

が成り立つ。したがって、n＝k＋1のときにも②が成り立つ。

［Ⅰ］、［Ⅱ］により、すべての自然数nについて②が成り立つ。

（2）太郎さんは、他の数列についても似たようなことが成り立つかどうかを調べてみた。
数列｛b_n｝を次の式で定める。

b₁＝1、b₂＝2
b_n＋2＝6b_n＋1－5b_n（n＝1, 2, 3, …）

（1）の（ii）と同様の計算により、自然数kについて

b_k＋1b_k＋3－（b_k＋2）²
＝b_k＋1（（　オ　）b_k＋2－（　カ　）b_k＋1）－（b_k＋2）²
＝（（　オ　）b_k＋1－b_k＋2）b_k＋2－（　カ　）（b_k＋1）²
＝（　キ　）｛b_kb_k＋2－（b_k＋1）²｝

が成り立つ。
したがって、すべての自然数nについて

b_nb_n＋2－（b_n＋1）²＝（　ク　）・（　ケ　）^n－1

が成り立つ。

（　オ　）〜（　キ　）にあてはまるものを1つ選べ。