共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問68 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問2)

（1）数列｛a_n｝を次の式で定める。

a₁＝1、a₂＝2
a_n＋2＝3a_n＋1－a_n（n＝1, 2, 3, …）　・・・・・①

初項a₁、第2項a₂および漸化式①により、第3項a₃が求められる。また、a₂、a₃および漸化式①により、第4項a₄が求められる。同様に、a₅、a₆、…を順に求めることができる。

（i）a₃＝（　ア　）、a₄＝（　イウ　）である。

（ii）太郎さんは、隣接する三つの項a_n、a_n＋1、a_n＋2について、a_na_n＋2の値と（a_n＋1）²の値がほぼ等しいのではないかと考えた。そこで、その差a_na_n＋2－（a_n＋1）²に着目して、すべての自然数nについて

a_na_n＋2－（a_n＋1）²＝1　・・・・・②

が成り立つのではないかと推測した。
すべての自然数nについて②が成り立つことを、太郎さんは、数学的帰納法を用いて次のように証明した。

＜証明＞
［Ⅰ］n＝1のとき、a₁＝1、a₂＝2、a₃＝（　ア　）であるから、
a₁a₃－（a₂）²＝1が成り立つ。よって、n＝1のとき、②が成り立つ。

［Ⅱ］n＝kのとき②が成り立つと仮定する。
n＝k＋1のとき、漸化式①により

a_k＋1a_k＋3－（a_k＋2）²
＝a_k＋1（3a_k＋2－a_k＋1）－（a_k＋2）²
＝（3a_k＋1－a_k＋2）a_k＋2－（a_k＋1）²
＝a_ka_k＋2－（a_k＋1）²
＝1

が成り立つ。したがって、n＝k＋1のときにも②が成り立つ。

［Ⅰ］、［Ⅱ］により、すべての自然数nについて②が成り立つ。

証明の［Ⅱ］では、次の式A、B、C、Dについて、（　エ　）を示している。

A　　a_k＋2＝3a_k＋1－a_k
B　　a_k＋3＝3a_k＋2－a_k＋1
C　　a_ka_k＋2－（a_k＋1）²＝1
D　　a_k＋1a_k＋3－（a_k＋2）²＝1

（　エ　）について、最も適当なものを、次の選択肢のうちから一つ選べ。